Chủ đề này có 2 trả lời

[manhhung2013]

Tam giác ABC có P thuộc đường tròn đường kính BC và thuộc miền trong của tam giác. Lấy E, D thuộc AC, AB sao cho PE$\perp$AB, PD$\perp$AC. H là hình chiếu của P trên BC. Dựng hình bình hành PDNE. DE cắt BC tại S. Chứng minh rằng AH$\perp$SN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhhung2013: 19-03-2017 - 22:24

[quantv2006]

Chứng minh $\angle DHE=90^0$.

 

Gọi I là giao điểm của DE và PN. Hạ NK vuông góc với BC. Do I là trung điểm của PN nên ta có IH = IK. Vậy D, H, K, E cùng nằm trên đường tròn (I).

 

Gọi T là hình chiếu vuông góc của A trên SN. Do $\angle ADN=\angle ATN=\angle AEN=90^0\Rightarrow$ 5 điểm A, D, E, T, N cùng nằm trên một đường tròn.

 

Ta có: SH.SK = SD.SE = ST.SN. Vậy TNKH là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle HTN =180^0-\angle HKN=90^0$

 

Vậy A, T, H thẳng hàng, hay AH vuông góc với SN tại T.

 

[dogsteven]

Khúc đầu tiên có lẽ bạn trên làm không kỹ, những chỗ còn lại rất ổn. Ta có $\Delta BDP \sim \Delta PEC, \Delta HBP \sim \Delta HPC\Rightarrow DH\perp HE$

 

Từ $\Delta BDP\sim \Delta PEC \Rightarrow \dfrac{BD}{DN}=\dfrac{BP}{PC}$ suy ra $P, N$ liên hợp đẳng giác trong tam giác $ABC$

Do đó ta có thể nhìn bài toán như sau: Cho tam giác $ABC$ với hai điểm $P, Q$ liên hợp đẳng giác. $D$ là hình chiếu của $Q$ trên $BC$. $E, F$ là hình chiếu của $P$ trên $AC, AB$. $EF$ cắt $BC$ tại $S$. Chứng minh rằng $SP\perp AD$

Áp dụng các làm giống bạn trên đê giải quyết bài mở rộng cũng rất ổn.

Hoặc làm thế này chẳng hạn.  (Đối với bài toán chính và tương tự với bài toán mở rộng)

$SD.SE=SH.SK\Rightarrow S$ thuộc trục đẳng phương của đường tròn đường kính $AN$ và $NH$

Khi đó $SN\perp AH$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 08-08-2017 - 01:32