Đến nội dung

Hình ảnh

Đề học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

Cập nhật đề thi hồi sáng mới thi xong

17352448_10154643094263542_3765739112894



#2
Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

Mới thi hồi sáng :D Bây giờ làm lại mới thấy mình ghi lộn tùm lum

 

1/ $2P = \dfrac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + [(a-b) + (b-c)]^2}{(a-b)^2 - (b-c)^2} = \dfrac{7^2 + 3^2 + (7+3)^2}{7^2 - 3^2} = \dfrac{79}{20}$

Suy ra $P = \dfrac{79}{40}$

 

2/ Do $\sqrt{x+3} \geqslant 0$ và $x^2 +3 > 0$ nên $2x - 1 \geqslant 0$ hay $x \geqslant \dfrac12$. Khi đó hai vế không âm, bình phương hai vế ta thu được

$(2x-1)^2(x+3) = (x^2 + 3)^2$

$\iff (x^2 - x - 3)(x^2 - 3x - 2) = 0$

...

 

3/ hpt $\iff \left\{ \begin{array}{l} 2xy - x + y = 6 \\ xy +x - y - 1 = 1 \\ \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} 3xy = 8 \\ xy +x - y - 1 = 1 \\ \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} xy = \dfrac83 \\ x - y = -\dfrac23 \\ \end{array} \right.$

Theo định lý Vieta đảo thì $x$ và $(-y)$ là hai nghiệm của pt $t^2 + \dfrac23t - \dfrac83 = 0 \iff \left[ \begin{array}{l} t = -2 \\ t = \dfrac43 \end{array} \right.$

Vậy $(x;y) = (-2 ; -\dfrac43) ; (\dfrac43 ; 2)$

 

4.1/ Biến đổi gt và áp dụng bđt AM-GM :

$$\dfrac1{1+y} = 1 - \dfrac{y}{1+y} = \dfrac{x}{1+x} + \dfrac{y}{1+y} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{xy}{(1+x)(1+y)}} \\ \implies \dfrac1{(1+y)^2} \geqslant 4 \dfrac{xy}{(1+x)(1+y)}$$

Lại có $\dfrac1{1+x} = 1 - \dfrac{x}{1+x} = \dfrac{2y}{1+y}$. Nhân vế theo vế ta được

$$ \dfrac1{(1+x)(1+y)^2} \geqslant \dfrac{8xy^2}{(1+x)(1+y)^2} \\ \iff xy^2 \leqslant \dfrac18 $$

Dấu '=' xảy ra khi $x = y = \dfrac12$

Vậy $P_\mathrm{max} = \dfrac18\iff x = y = \dfrac12$

 

4.2/ pt $\iff (x + y + 1) (x + 2 y - 2) = 3 ...$

 

6/ Theo gt thì Nam chơi bóng bàn vào thứ Hai và chơi bóng đá vào thứ Tư.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} T2 & T3 & T4 & T5 & T6 & T7 & CN \\ \hline \text{Bóng bàn} && \text{Bóng đá} &&&& \end{array}$$

Do Nam chạy 3 ngày mỗi tuần, trong đó không có 2 ngày nào liên tiếp nên Nam chỉ có thể chạy vào T3, T5, T7 hoặc T3, T6, CN hoặc T3, T5, CN

TH1 : Nam chạy vào T3, T5, T7

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} T2 & T3 & T4 & T5 & T6 & T7 & CN \\ \hline \text{Bóng bàn} & \text{Chạy} & \text{Bóng đá} & \text{Chạy} && \text{Chạy}& \end{array}$$

Lúc này, Nam chỉ có thể chơi cầu lông vào T7 hoặc CN, mà Nam không chơi cầu lông sau ngày Nam chạy nên Nam không thể chơi cầu lông. Loại

TH2 : Nam chạy vào T3, T6, CN

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} T2 & T3 & T4 & T5 & T6 & T7 & CN \\ \hline \text{Bóng bàn} & \text{Chạy} & \text{Bóng đá} & & \text{Chạy}&& \text{Chạy} \end{array}$$

Lúc này, Nam chỉ có thể chơi cầu lông vào T5 hoặc T7, mà Nam không chơi cầu lông sau ngày Nam chạy nên Nam chơi cầu lông vào T5. Khi đó Nam bơi vào T7

TH3 : Nam chạy vào T3, T5, CN

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} T2 & T3 & T4 & T5 & T6 & T7 & CN \\ \hline \text{Bóng bàn} & \text{Chạy} & \text{Bóng đá} &\text{Chạy} & && \text{Chạy} \end{array}$$

Lúc này, Nam chỉ có thể chơi cầu lông và bơi trong T6 và T7, mà Nam không chơi hai môn này trong hai ngày liên tiếp nên không thể thế được. Loại

Qua 3TH thì ta có thời gian biểu chính thức của Nam là :

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} T2 & T3 & T4 & T5 & T6 & T7 & CN \\ \hline \text{Bóng bàn} & \text{Chạy} & \text{Bóng đá} &\text{Cầu lông} & \text{Chạy}&\text{Bơi}& \text{Chạy} \end{array}$$

Vậy Nam bơi vào T7


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Iceghost: 20-03-2017 - 14:53


#3
Iceghost

Iceghost

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

5.1/

391.PNG

Kẻ các đường cao $BD, CE$ của $\triangle{ABC}$. Khi đó dễ CM được $EN = DN = \dfrac12 AH$ và $ME = MD = \dfrac12 BC$

Suy ra $MN$ là đường trung trực của $ED$. Xét $\triangle{NED}$ cân tại $N$, có đường trung trực $MN$ của $ED$ nên $MN$ cũng là đường phân giác

$\implies \angle{ENM} = \dfrac12 \angle{END}$, lại có tứ giác $AEHD$ có tâm nội tiếp $N$ nên $\angle{END} = 2\angle{EAD}$

Suy ra $\angle{ENM} = \angle{EAD}$. Lại có $\angle{ENH} = 2\angle{EAH}$ (góc ngoài tam giác cân) và $\angle{EAD} = 2\angle{EAK}$ (phân giác)

Suy ra $\angle{ENM} - \angle{ENH} = \angle{EAD} - 2\angle{EAH} = 2\angle{EAK} - 2\angle{EAH}$

Hay $\angle{HNK} = 2\angle{HAK}$. Từ đây suy ra được $\triangle{NAK}$ cân tại $N \implies NK = NA = NH$. Suy ra $\triangle{AKH}$ vuông tại $K$ nên $AK \perp KH$

5.2/ Không mất tính tổng quát, ta chỉ xét $\triangle{ABC}$ nhọn và $AC > BC > AB$

392.PNG

Ta có $\angle{BHF} = \angle{BEH} + \angle{HBE} = \angle{BAF} + \angle{CAE} = \angle{BAF} + \angle{BAE} = \angle{EAF}$, suy ra $AFHD$ nt hay $\angle{AFD} = \angle{AHD} = 90^\circ$. Suy ra $AK$ là đường kính $(O)$



#4
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                            ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH                                                NĂM HỌC 2016 – 2017

                                                                                                   Môn thi: Toán

                                                                            Thời gian: 150 phút (Ngày thi 20/03/2017)

 

 

Bài 1:  Cho a, b, c thỏa mãn a – b = 7; b – c = 3. Tính $P=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{a^{2}-c^{2}-2ab+2bc}$

Bài 2: a) Giải phương trình $(2x-1)\sqrt{x+3}=x^{2}+3$

           b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x(y-1)+y(x+1)=6 & \\ (x-1)(y+1)=1 & \end{matrix}\right.$

Bài 3: a) Cho x, y > 0 thỏa mãn $\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}=1$. Tìm GTLN của $P=xy^{2}$

           b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn $(x+y)(x+2y)=x+5$

Bài 4: a) Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK

            b) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường phân giác trong của tam giác ABC (H, D thuộc BC). Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại F và tia FD cắt (O) tại K. Chứng minh rằng AK là đường kính của đường tròn (O)

Bài 5: Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi. Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi ?



#5
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

Đáp án đầy đủ tại đây : 

https://www.facebook...498675760152017



#6
THAN DONG TOAN HOC LDK

THAN DONG TOAN HOC LDK

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Hay

 



#7
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Bài 4 ý 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x+y)(x+2y)=x+5

em đổi vế để đưa thành x^2+x(3y-1)+2y^2=5

rồi dùng delta được (3y-1)^2-8y^2=y^2-6y+1 phải là số chính phương

đặt y^2-6y+1=m^2

<=> (y-3)^2-m^2=-1

tiếp tục


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh