Đến nội dung

Hình ảnh

x, y, z là các số thực thỏa mãn: $2xyz=3x^{2}+4y^{2}+5z^{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất: $P=3x+2y+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
manhhung2013

manhhung2013

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết

x, y, z là các số thực thỏa mãn: $2xyz=3x^{2}+4y^{2}+5z^{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất: $P=3x+2y+z$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhhung2013: 21-03-2017 - 23:47

đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =

 


#2
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

x, y, z là các số thực thỏa mãn: $2xyz=3x^{2}+4y^{2}+5z^{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất: $P=3x+2y+z$

 

Ta có

\[\begin{aligned} \frac{(3x^2+4y^2+5z^2)(3x+2y+z)}{2xyz} - 36 = \frac{(9x+8y+z)(x-y)^2+(19x+3z)(y-z)^2+2(8y+z)(z-x)^2}{2xyz}.\end{aligned}\]

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z.$


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3
manhhung2013

manhhung2013

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết

Ta có
\[\begin{aligned} \frac{(3x^2+4y^2+5z^2)(3x+2y+z)}{2xyz} - 36 = \frac{(9x+8y+z)(x-y)^2+(19x+3z)(y-z)^2+2(8y+z)(z-x)^2}{2xyz}.\end{aligned}\]
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z.$



Cho em hỏi làm sao mà tách được như vậy ạ, đây là phương pháp gì ạ?

đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =

 


#4
victoranh

victoranh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

chắc đây là sos à, mình k hiểu lắm về pp này


-----Đừng chọn sống an nhàn trong những năm tháng mà bạn "chịu khổ được"-----


#5
TenLaGi

TenLaGi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

chắc đây là sos à, mình k hiểu lắm về pp này

Mình nghĩ là dùng hệ số bất định.

Nhưng ko hiểu sao anh Huyện phân tích dc thế~~chắc dùng tool


            ~~~Chữ tâm kia mới bằng ba chữ tài~~~

                         


#6
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho em hỏi làm sao mà tách được như vậy ạ, đây là phương pháp gì ạ?

 

Kỹ thuật này dùng phương pháp đồng nhất hệ số. Đầu tiên dùng bất đẳng thức AM-GM hoặc AM-GM suy rộng ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất khi $x=y=z$ và bài toán quy về chứng minh

\[(3x^2+4y^2+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz \geqslant 0.\]

Vì vế trái là một đa thức bậc $3$ không hoán vị cũng không đối xứng nên nếu biểu diễn được dưới dạng sos thì nó có thể có dạng

\[\begin{aligned}(3x^2+4y^2&+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz =  \\&= (m_1x+m_2y+m_3z)(x-y)^2 + (m_4x+m_5y+m_6z)(y-z)^2 + (m_7x+m_8y+m_9z)(z-x)^2.\end{aligned}\]

Đồng nhất hệ số hai vế giải hệ phương trình tìm nghiệm $m_i \geqslant 0,\,i=1,\,2,\,\ldots,\,9.$ Chú ý rằng hệ phương trình thu được là hệ phương trình tuyến tính và có thể có nhiều nghiệm nên phân tích trên không phải là duy nhất.

 

Có thể xem thêm ở đây.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 22-03-2017 - 20:56

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#7
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Kỹ thuật này dùng phương pháp đồng nhất hệ số. Đầu tiên dùng bất đẳng thức AM-GM hoặc AM-GM suy rộng ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất khi $x=y=z$ và bài toán quy về chứng minh

\[(3x^2+4y^2+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz \geqslant 0.\]

Vì vế trái là một đa thức bậc $3$ không hoán vị cũng không đối xứng nên nếu biểu diễn được dưới dạng sos thì nó có thể có dạng

\[\begin{aligned}(3x^2+4y^2&+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz =  \\&= (m_1x+m_2y+m_3z)(x-y)^2 + (m_4x+m_5y+m_6z)(y-z)^2 + (m_7x+m_8y+m_9z)(z-x)^2.\end{aligned}\]

Đồng nhất hệ số hai vế giải hệ phương trình tìm nghiệm $m_i \geqslant 0,\,i=1,\,2,\,\ldots,\,9.$ Chú ý rằng hệ phương trình thu được là hệ phương trình tuyến tính và có thể có nhiều nghiệm nên phân tích trên không phải là duy nhất.

 

Có thể xem thêm ở đây.

   Anh có Tool hỗ trợ không ạ chứ em thấy anh biến đổi các bài phức tạp đều về SOS và chỉ cần tiêu chuẩn cơ bản

 

x, y, z là các số thực thỏa mãn: $2xyz=3x^{2}+4y^{2}+5z^{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất: $P=3x+2y+z$

  2xyz=$3x^2+4y^2+5z^2\geq 12\sqrt[12]{x^6y^8z^10}$ 

Suy ra $x^{3}y^{2}z\geq 6^6$

Mà: P=3x+2y+z$\geq 6\sqrt[6]{x^3y^2z}\geq 36$



#8
manhhung2013

manhhung2013

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết

   Anh có Tool hỗ trợ không ạ chứ em thấy anh biến đổi các bài phức tạp đều về SOS và chỉ cần tiêu chuẩn cơ bản

 

  2xyz=$3x^2+4y^2+5z^2\geq 12\sqrt[12]{x^6y^8z^10}$ 

Suy ra $x^{3}y^{2}z\geq 6^6$

Mà: P=3x+2y+z$\geq 6\sqrt[6]{x^3y^2z}\geq 36$

Lời giải hay quá nhưng làm sao để biết được dẫu = xảy ra khi x=y=z, với các bài dấu = xảy ra phức tạp thì phải làm sao???


đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =

 


#9
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Lời giải hay quá nhưng làm sao để biết được dẫu = xảy ra khi x=y=z, với các bài dấu = xảy ra phức tạp thì phải làm sao???

 Mình chỉ đoán thôi bạn chứ dấu bằng xảy ra xấu thì mình nghĩ phải cân bằng hệ số mà phương pháp ấy khá phức tạp về bước giải phương trình mà không có máy thính thì chịu 



#10
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

 Anh có Tool hỗ trợ không ạ chứ em thấy anh biến đổi các bài phức tạp đều về SOS và chỉ cần tiêu chuẩn cơ bản

 

Anh đã viết nó thành một chương trình chạy trên nền Maple.

 

Mình chỉ đoán thôi bạn chứ dấu bằng xảy ra xấu thì mình nghĩ phải cân bằng hệ số mà phương pháp ấy khá phức tạp về bước giải phương trình mà không có máy thính thì chịu 

 

Có thể tìm dấu bằng dễ dàng bằng cách viết biểu thức lại dưới dạng

\[(3x^2+4y^2+5z^2)(3x+2y+z) = 72\left(\frac{3}{12}x^2+\frac{4}{12}y^2+\frac{5}{12}z^2\right)\left(\frac{3}{6}x+\frac{2}{6}y+\frac{1}{6}z\right),\] rồi dùng bất đẳng thức AM-GM suy rộng.

 


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#11
Kim Vu

Kim Vu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Hình như chưa có x,y,z dương các bác ạ  :D






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh