Chủ đề này có 3 trả lời

[songokucadic1432]

Cho $u_{n}$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1; u_{2}=2 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}\left (u_{n}+u_{n-1} \right )&\forall n\geq1 \end{matrix}\right.$.

Tìm công thức tổng quát của u_{n}

thank trước     

[tritanngo99]

Cho $u_{n}$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1; u_{2}=2 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}\left (u_{n}+u_{n-1} \right )&\forall n\geq1 \end{matrix}\right.$.

Tìm công thức tổng quát của u_{n}

thank trước     

Ta có: $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+u_{n-1})\iff 2u_{n+1}-u_n-u_{n-1}=0$.

Xét phương trình đặc trưng: $2\lambda^2-\lambda-1=0\iff \lambda=1....v....\lambda=\frac{-1}{2}$.

Khi đó: $u_n$ có dạng: $u_n=c_1.1^n+c_2.(\frac{-1}{2})^n$.

$\iff \left\{\begin{matrix} u_1=c_1-\frac{c_2}{2}\\u_2=c_1+\frac{c_2}{4}  \end{matrix}\right.$

$\iff \left\{\begin{matrix} c_1=\frac{5}{3}\\c_2=\frac{4}{3}  \end{matrix}\right.$

Vậy $\boxed{u_n=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}.(\frac{-1}{2})^n\text{     }\forall n\ge 1}$

[songokucadic1432]

Ta có: $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+u_{n-1})\iff 2u_{n+1}-u_n-u_{n-1}=0$.

Xét phương trình đặc trưng: $2\lambda^2-\lambda-1=0\iff \lambda=1....v....\lambda=\frac{-1}{2}$.

Khi đó: $u_n$ có dạng: $u_n=c_1.1^n+c_2.(\frac{-1}{2})^n$.

$\iff \left\{\begin{matrix} u_1=c_1-\frac{c_2}{2}\\u_2=c_1+\frac{c_2}{4}  \end{matrix}\right.$

$\iff \left\{\begin{matrix} c_1=\frac{5}{3}\\c_2=\frac{4}{3}  \end{matrix}\right.$

Vậy $\boxed{u_n=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}.(\frac{-1}{2})^n\text{     }\forall n\ge 1}$

bạn ơi, bạn có thể giải thích rõ cho mình chỗ phương trình đặc trưng đc ko

[hxthanh]

Cho $u_{n}$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1; u_{2}=2 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}\left (u_{n}+u_{n-1} \right )&\forall n\geq1 \end{matrix}\right.$.
Tìm công thức tổng quát của u_{n}
thank trước  

Ta có:
$u_{n}+\frac{1}{2}u_{n-1}=u_{n-1}+\frac{1}{2}u_{n-2}=…=u_2+\frac{1}{2}u_1=\frac{5}{2}$
Mặt khác
$u_{n}-u_{n-1}=-\frac{1}{2}(u_{n-1}-u_{n-2})=…=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n-2}(u_2-u_1)=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n-2}$
Lấy đt trên nhân 2 rồi cộng vế theo vế đt dưới ta được:
$3u_n=5+\frac{(-1)^n}{2^{n-2}}$

Vậy $u_n=\frac{5}{3}+\frac{4(-1)^n}{3.2^{n}}$