Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh rằng: $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$
Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh rằng: $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$
Bác cần ko em up luôn bản pdf
Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh rằng: $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$
Đơn giản nhất chắc là dồn biến. Viết bất đẳng thức trên lại như sau
\[(a+b+c)^6 \geqslant 32(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2),\]
hay là
\[\begin{aligned}\sum c^4(a+b-c)^2&+2abc\left[(42(ab^2+bc^2+ca^2)+109abc\right] \\&+2\sum ab(4a^2-ab+4b^2+14bc+16c^2)(a-b)^2\geqslant 0.\end{aligned}\]
Hiển nhiên đúng.
Đơn giản nhất chắc là dồn biến. Viết bất đẳng thức trên lại như sau
\[(a+b+c)^6 \geqslant 32(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2),\]
hay là
\[\begin{aligned}\sum c^4(a+b-c)^2&+2abc\left[(42(ab^2+bc^2+ca^2)+109abc\right] \\&+2\sum ab(4a^2-ab+4b^2+14bc+16c^2)(a-b)^2\geqslant 0.\end{aligned}\]
Hiển nhiên đúng.
Bác chỉ rõ cho em dấu bằng của bài toán được không ạ ,,, @@ !
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Bác chỉ rõ cho em dấu bằng của bài toán được không ạ ,,, @@ !
Đẳng thức xảy ra khi có hai số bằng nhau một số bằng $0.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 28-03-2017 - 22:46
Cmr $$f(a,b,c) \leq f(a+b,c,0)$$.
Biểu thức $f(a,b,c)$ của em là gì ? Nếu dồn biến theo kiểu này thì sẽ chọn $c$ là số nhỏ nhất, anh thử nhẩm với $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ khi xét $f(a,b,c) \leqslant f(a+b,c,0)$ thì hai đại lượng trội nhất là $a^3b,ab^3$ nằm bên trái dấu $\leqslant $ nên có thể bất đẳng thức này sai.
Em chọn $c$ là số lớn nhất.Biểu thức $f(a,b,c)$ của em là gì ? Nếu dồn biến theo kiểu này thì sẽ chọn $c$ là số nhỏ nhất, anh thử nhẩm với $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ khi xét $f(a,b,c) \leqslant f(a+b,c,0)$ thì hai đại lượng trội nhất là $a^3b,ab^3$ nằm bên trái dấu $\leqslant $ nên có thể bất đẳng thức này sai.
Cmr $$f(a,b,c) \leq f(a+b,c,0)$$.
Em chọn $c$ là số lớn nhất.
Nhưng như vầy thì em dồn $c$ về $0$ !
Em chưa hiểu ý anh lắm. Em đang dồn $b \rightarrow 0$. Nếu dồn $c \rightarrow 0$ thì có lẽ là $f(a+c,b,0)$ chính xác hơn.Nhưng như vầy thì em dồn $c$ về $0$ !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 08-04-2017 - 18:52
Em định nghĩa $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ thì $f(a+b,c,0)$ tức là thay $a = a + b,\, b = c$ và $c = 0.$ Tức $c$ là nhỏ nhất.
Thực ra nó chỉ là mặt quy ước, ta có thể thấy $f(a+c,b,0)$ và $f(a+b,c,0)$ hay $f(0,b,a+c)$ là tương đương hết sau phép đặt ẩn $(a+c,b) \rightarrow (x,y)$ hay $(a+b,c) \rightarrow (x,y)$Em định nghĩa $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ thì $f(a+b,c,0)$ tức là thay $a = a + b,\, b = c$ và $c = 0.$ Tức $c$ là nhỏ nhất.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh