Đến nội dung

Hình ảnh

$\prod (a^{2}+b^{2})\leq \frac{1}{32}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

 

Chứng minh rằng:  $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$


:huh:


#2
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

 

Chứng minh rằng:  $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$

Bác cần ko em up luôn bản pdf 

17499866_428750700806574_1202535269_o.pn17500351_428750907473220_237139321_o.png

17500434_428750960806548_563938874_o.png

17475325_428751024139875_1075875652_o.pn

17453287_428751210806523_1726598815_o.pn



#3
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

 

Chứng minh rằng:  $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$

 

Đơn giản nhất chắc là dồn biến. Viết bất đẳng thức trên lại như sau

\[(a+b+c)^6 \geqslant 32(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2),\]

hay là

\[\begin{aligned}\sum c^4(a+b-c)^2&+2abc\left[(42(ab^2+bc^2+ca^2)+109abc\right] \\&+2\sum ab(4a^2-ab+4b^2+14bc+16c^2)(a-b)^2\geqslant 0.\end{aligned}\]

Hiển nhiên đúng.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#4
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Đơn giản nhất chắc là dồn biến. Viết bất đẳng thức trên lại như sau

\[(a+b+c)^6 \geqslant 32(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2),\]

hay là

\[\begin{aligned}\sum c^4(a+b-c)^2&+2abc\left[(42(ab^2+bc^2+ca^2)+109abc\right] \\&+2\sum ab(4a^2-ab+4b^2+14bc+16c^2)(a-b)^2\geqslant 0.\end{aligned}\]

Hiển nhiên đúng.

Bác chỉ rõ cho em dấu bằng của bài toán được không ạ ,,, @@ !


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#5
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Bác chỉ rõ cho em dấu bằng của bài toán được không ạ ,,, @@ !

 

Đẳng thức xảy ra khi có hai số bằng nhau một số bằng $0.$


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#6
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
Cmr $$f(a,b,c) \leq f(a+b,c,0)$$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 28-03-2017 - 22:46


#7
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cmr $$f(a,b,c) \leq f(a+b,c,0)$$.

 

Biểu thức $f(a,b,c)$ của em là gì ? Nếu dồn biến theo kiểu này thì sẽ chọn $c$ là số nhỏ nhất, anh thử nhẩm với $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ khi xét $f(a,b,c) \leqslant f(a+b,c,0)$ thì hai đại lượng trội nhất là $a^3b,ab^3$ nằm bên trái dấu $\leqslant $ nên có thể bất đẳng thức này sai.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Biểu thức $f(a,b,c)$ của em là gì ? Nếu dồn biến theo kiểu này thì sẽ chọn $c$ là số nhỏ nhất, anh thử nhẩm với $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ khi xét $f(a,b,c) \leqslant f(a+b,c,0)$ thì hai đại lượng trội nhất là $a^3b,ab^3$ nằm bên trái dấu $\leqslant $ nên có thể bất đẳng thức này sai.

Em chọn $c$ là số lớn nhất.
Ta nhân 2 đánh giá sau
$c^2[(a+b)^2+c^2]=c^4+c^2a^2+c^2b^2+2c^2ab \geq (c^2+a^2)(c^2+b^2)$
Và $(a+b)^2 \geq (a^2+b^2)$

#9
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cmr $$f(a,b,c) \leq f(a+b,c,0)$$.

Em chọn $c$ là số lớn nhất.

 

Nhưng như vầy thì em dồn $c$ về $0$ !


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#10
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Nhưng như vầy thì em dồn $c$ về $0$ !

Em chưa hiểu ý anh lắm. Em đang dồn $b \rightarrow 0$. Nếu dồn $c \rightarrow 0$ thì có lẽ là $f(a+c,b,0)$ chính xác hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 08-04-2017 - 18:52


#11
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Em định nghĩa $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ thì $f(a+b,c,0)$ tức là thay $a = a + b,\, b = c$ và $c = 0.$ Tức $c$ là nhỏ nhất.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#12
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Em định nghĩa $f(a,b,c) = (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$ thì $f(a+b,c,0)$ tức là thay $a = a + b,\, b = c$ và $c = 0.$ Tức $c$ là nhỏ nhất.

Thực ra nó chỉ là mặt quy ước, ta có thể thấy $f(a+c,b,0)$ và $f(a+b,c,0)$ hay $f(0,b,a+c)$ là tương đương hết sau phép đặt ẩn $(a+c,b) \rightarrow (x,y)$ hay $(a+b,c) \rightarrow (x,y)$
Ta chọn vị trí các số sao cho chứng minh dễ nhất có thể mà thôi. Nó không ảnh hưởng dù $c$ max hay min. Bài toán này có thể chọn thứ tự thoải mái do tính đối xứng.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh