Cho a;b;c >0. CMR : $\frac{(2a + b + c)^2}{2a^2 + (b + c)^2} + \frac{(2b + c + a)^2}{2b^2 + (c + a)^2} + \frac{(2c + a + b)^2}{2c^2 + (a + b)^2} \leq 8$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 28-03-2017 - 18:33
CMR : $\Sigma \frac{(2a + b + c)^2}{2a^2 + (b + c)^2} \leq 8$
Bắt đầu bởi Silverbullet069, 28-03-2017 - 18:33
#1
Đã gửi 28-03-2017 - 18:33
Silverbullet069
-
- Thành viên
-
- 565 Bài viết
Thiếu úy
"I am the bone of my sword,
Unknown to Death, Nor known to Life,
So as I pray, unlimited blade works."
#2
Đã gửi 28-03-2017 - 20:02
Element hero Neos
-
- Thành viên
-
- 943 Bài viết
Trung úy
Cho a;b;c >0. CMR : $\frac{(2a + b + c)^2}{2a^2 + (b + c)^2} + \frac{(2b + c + a)^2}{2b^2 + (c + a)^2} + \frac{(2c + a + b)^2}{2c^2 + (a + b)^2} \leq 8$
Chuẩn hoá
a+b+c=3
Ta có
$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}=\frac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2}$
Mà
$\frac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2}-\frac{8a}{3}-\frac{8}{3}=\frac{-(a-1)^2(12a+9)}{3(2a^2+(3-a)^2)}\leq 0$
Do đó có đpcm.
- Silverbullet069 yêu thích
#3
Đã gửi 14-05-2021 - 10:50
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho a;b;c >0. CMR : $\frac{(2a + b + c)^2}{2a^2 + (b + c)^2} + \frac{(2b + c + a)^2}{2b^2 + (c + a)^2} + \frac{(2c + a + b)^2}{2c^2 + (a + b)^2} \leq 8$
Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0\Rightarrow\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
