Chủ đề này có 3 trả lời

[tritanngo99]

Cho $a,b,c$ là các số thực khác không thỏa mãn: $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+39\ge 14(ab+bc+ca)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-04-2017 - 05:22

[yeutoan2001]

3=\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq \sum \sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}=a+b+c

Tìm được Max của ab+bc+ac 

  => VT>=42>=VP

[viet9a14124869]

Ta thấy $9=(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})^2=\sum \frac{a^2b^2}{c^2}+2(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow 3\geq a^2+b^2+c^2$ 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $(\frac{a^2}{b^2}+c^2)+(\frac{b^2}{c^2}+a^2)+(\frac{c^2}{a^2}+b^2)+39\geq 2\sum \frac{ac}{b}+39=45\geq 15(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+14(ab+bc+ca)\Rightarrow Q.E.D$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 

[tritanngo99]

Mở rộng: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^2}{b^2}+51\ge 14\sum ab+4\sum \frac{ab}{c}$