Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a, $f\left ( x \right )= \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}$
b, $f\left ( x \right )= tan^{2}x$
c, $f\left ( x \right )= e^{5-3x}$
d, $f\left ( x \right )= \frac{x}{2x^{2}+3x-5}$
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a, $f\left ( x \right )= \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}$
b, $f\left ( x \right )= tan^{2}x$
c, $f\left ( x \right )= e^{5-3x}$
d, $f\left ( x \right )= \frac{x}{2x^{2}+3x-5}$
Câu a. $\frac{1}{\sin^2{x}.\cos^2{x}}=\frac{4}{\sin^2{2x}}$ D0: $\sin{x}.\cos{x}=\frac{\sin{2x}}{2}$
$\int \frac{1}{\sin^2{x}.\cos^2{x}}dx=\int \frac{4}{\sin^2{2x}}dx=-2\cot{2x}+C$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 02-07-2017 - 10:25
Nguyễn Thành Hưng
Câu d. Nhận xét: ta thấy $(2x^2+3x-5)'=4x+3$ nên $x=\frac{1}{4}(4x+3)-\frac{3}{4}$
Ta có: $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{1}{4}\frac{4x+3}{2x^2+3x-5}-\frac{3}{4}\frac{1}{2x^2+3x-5}$
$\int \frac{x}{2x^2+3x-5}dx=\frac{1}{4}\int \frac{4x+3}{2x^2+3x-5}dx-\frac{3}{4}\int \frac{1}{2x^2+3x-5}dx=I_1+I_2$
$I_1=\frac{1}{4}\int \frac{4x+3}{2x^2+3x-5}dx=\frac{1}{4} \ln|2x^2+3x-5|+C_1$
$I_2=\frac{3}{4}\int \frac{1}{2x^2+3x-5}dx=\frac{3}{4}\int (\frac{1}{7}\frac{1}{x-1}-\frac{2}{7}\frac{1}{2x+5})dx=\frac{3}{28}\ln|x-1|-\frac{3}{28}\ln|2x+5|+C_2$
Vậy: $\int \frac{x}{2x^2+3x-5}dx=\frac{1}{4} \ln|2x^2+3x-5|-\frac{3}{28}\ln|x-1|+\frac{3}{28}\ln|2x+5|+C$
(kiểm tra giúp mình nhen. Tính nhiều sẽ sai sót nhiều đó.)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 02-07-2017 - 10:52
Nguyễn Thành Hưng
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
b, $f\left ( x \right )= tan^{2}x$
d, $f\left ( x \right )= \frac{x}{2x^{2}+3x-5}$
Câu b. $\tan^2{x}=1+\frac{1}{\cos^2{x}}$
$\int \tan^2{x}dx=\int (1+\frac{1}{\cos^2{x}})dx=x+\tan{x}+C$
b)
$\int \tan^2xdx=\int \left ( \frac{1}{\cos^2x}-1 \right )dx=\tan x-x+C$
d)
Đặt $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5}$ ($A,B$ là các hằng số cần tìm)
$\Rightarrow A(2x+5)+B(x-1)=x$
Cho $x=1\Rightarrow A=\frac{1}{7}$
Cho $x=-\frac{5}{2}\Rightarrow B=\frac{5}{7}$
$\int \frac{x}{2x^2+3x-5}\ dx=\int \left ( \frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5} \right )dx$
$=A\ln|x-1|+\frac{B}{2}\ln|2x+5|+C=\frac{1}{7}\ln|x-1|+\frac{5}{14}\ln|2x+5|+C$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
b)
$\int \tan^2xdx=\int \left ( \frac{1}{\cos^2x}-1 \right )dx=\tan x-x+C$
d)
Đặt $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5}$ ($A,B$ là các hằng số cần tìm)
$\Rightarrow A(2x+5)+B(x-1)=x$
Cho $x=1\Rightarrow A=\frac{1}{7}$
Cho $x=-\frac{5}{2}\Rightarrow B=\frac{5}{7}$
$\int \frac{x}{2x^2+3x-5}\ dx=\int \left ( \frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5} \right )dx$
$=A\ln|x-1|+\frac{B}{2}\ln|2x+5|+C=\frac{1}{7}\ln|x-1|+\frac{5}{14}\ln|2x+5|+C$.
Câu b của mình và bạn cùng một kết quả đó. Bạn xem lại xem.
Nguyễn Thành Hưng
d)
Đặt $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5}$ ($A,B$ là các hằng số cần tìm)
$\Rightarrow A(2x+5)+B(x-1)=x$
Cho $x=1\Rightarrow A=\frac{1}{7}$
Cho $x=-\frac{5}{2}\Rightarrow B=\frac{5}{7}$
$\int \frac{x}{2x^2+3x-5}\ dx=\int \left ( \frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5} \right )dx$
$=A\ln|x-1|+\frac{B}{2}\ln|2x+5|+C=\frac{1}{7}\ln|x-1|+\frac{5}{14}\ln|2x+5|+C$.
Cách cua bạn là thực hiện đồng nhất thức. Còn mình đang giải bài b bằng cách thêm, bợt mà. Hai cách giải như nhau mà nên cách nào cũng ra kết quả cả...
Nguyễn Thành Hưng
Câu b của mình và bạn cùng một kết quả đó. Bạn xem lại xem.
Câu b hồi sáng bạn ra kết quả $x+\tan x+C$ (mình có trích lại ở #6), bạn mới sửa lại lúc 12:16. Mình biết bạn nhầm nên sửa lại thôi, không có ý gì đâu.
Còn câu d, bạn làm vẫn đúng, nhưng phức tạp, và kết quả vẫn còn có thể rút gọn (gặp trường hợp này thì người ta gom lại thành tổng của 2 cái $\ln$ chứ ai để thế ). Mình làm câu này chỉ là giúp cho một số bạn biết thêm một phương pháp mới, thế thôi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-07-2017 - 15:47
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Cảm o
Câu b hồi sáng bạn ra kết quả $x+\tan x+C$ (mình có trích lại ở #6), bạn mới sửa lại lúc 12:16. Mình biết bạn nhầm nên sửa lại thôi, không có ý gì đâu.
Còn câu d, bạn làm vẫn đúng, nhưng phức tạp, và kết quả vẫn còn có thể rút gọn (gặp trường hợp này thì người ta gom lại thành tổng của 2 cái $\ln$ chứ ai để thế ). Mình làm câu này chỉ là giúp cho một số bạn biết thêm một phương pháp mới, thế thôi.ơn
Cảm ơn bạn nhiều
Nguyễn Thành Hưng
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh