Đến nội dung

Hình ảnh

MOCK TEST FOR BMO 2017

bmo 2017

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

17951749_10212139068848873_6248912053778



#2
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết
Bạn nào làm câu số học bài 1 chưa vậy...

#3
tungthdctrmath

tungthdctrmath

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
Bài 1:
- Ta biến đổi như sau:
$$n! \vdots n^3-1 \Leftrightarrow n.(n-2)! \vdots (n^2+n+1).$$
- Khi đó do $ƯCLN(n,n^2+n+1)=1$ nên bài toán tương đương chứng minh có vô hạn $n \in \mathbb{N^*}$ sao cho:

$$(n-2)! \vdots (n^2+n+1)$$
- Xét $n=2^{2^k}, \forall k \geq 3$, ta nhận thấy rằng:

$$n^2+n+1= 2^{2^{k+1}}+2^{2^k}+1=(2^{2^k}-2^{2^{k-1}}+1).(2^{2^k}+2^{2^{k-1}}+1)=$$$$(2^{2^k}-2^{2^{k-1}}+1).(2^{2^{k-1}}-2^{2^{k-2}}+1)\dots(2^2-2+1).(2^2+2+1).$$
Mà $(n-2)!= (2^{2^k}-2)!$ và do $2^{2^j}-2^{2^{j-1}}+1>2^{2^{j-1}}-2^{2^{j-2}}+1, \forall j \geq 3$, $2^{2^2}-2^2+1 > 2^2+2+1>2^2-2+1$, n ta chỉ cần chứng minh với $k \geq 3$ thì bắt đẳng thức sau luôn đúng:
$$2^{2^k}-2^{2^{k-1}}+1 \leq n-2=2^{2^k}-2 \Leftrightarrow 2^{2^{k-1}} \geq 3$$
Dễ thấy với $k \geq 3$ thì luôn đúng, từ đó ta suy ra đpcm.
- P.S.: Hướng của mình chủ yếu dựa vào đẳng thức $a^4+a^2+1=(a^2+a+1)(a^2-a+1)$ mà làm quen nhiều bài nên nhớ tới $a=2^{2^k}$ để tách nhân tử được nhiều lần.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungthdctrmath: 02-05-2017 - 10:58

Keep Moving Forward  :D  :D 


#4
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết
Cách làm của bạn gần giống với cách làm của mình, nhưng cách của mình thì dài dòng hơn. Lúc đầu cứ tưởng là dùng số chính phương mod p ai ngờ là nó mũ 3...

#5
tungthdctrmath

tungthdctrmath

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Cách làm của bạn gần giống với cách làm của mình, nhưng cách của mình thì dài dòng hơn. Lúc đầu cứ tưởng là dùng số chính phương mod p ai ngờ là nó mũ 3...

- Mình lâu rồi chưa đụng tới số chính phương mod p nên cũng chưa suy nghĩ tới :v. Mà có thể cho mình tham khảo cách làm của bạn được không, tại mình thấy nếu thay $2^{2^k}$ thành $3^{2^k}$ thì cách làm cũng y chang, mà mình thì chưa hiểu sao dài hơn chút thôi :v.


Keep Moving Forward  :D  :D 


#6
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Cách của mình cũng tương tự của bạn thôi, chỉ là mình lập luận với chứng minh kĩ hơn thôi, mà xét $n=2^{2^{k}}$ hay $n=3^{2^{k}}$ thì cũng tương tự nhau. Mà nếu đề bài là $n^{2}+1$ thì dùng số chính phương $mod$ $p$ là chuẩn luôn, nhưng tiếc là mũ $3$...







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bmo, 2017

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh