Đến nội dung

Hình ảnh

EGMO 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

EGMO 2017

EGMO-logo-2017.png

 

Ngày $1$.

 

$1$. Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ}$ và $\angle ABC > \angle CDA$. Gọi $Q$ và $R$ lần lượt là các điểm trên các đoạn $BC$ và $CD$ sao cho $QR$ cắt $AB$ và $AD$ lần lượt tại $P$ và $S$. Biết rằng $PQ=RS$. Gọi trung điểm của $BD$ là $M$ và trung điểm của $QR$ là $N$. Chứng minh rằng các điểm $M,N,A$ và $C$ cùng thuộc một đường tròn.

 

$2$. Gọi $\mathbb{Z}_{>0}$ là tập tất cả các số nguyên dương. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một cách tô màu các số nguyên dương bằng $k$ màu (mỗi số được tô bởi duy nhất một màu) và một hàm $f:\mathbb{Z}_{>0}\mapsto\mathbb{Z}_{>0}$ với hai điều kiện sau:

$\bullet$ Với mọi số nguyên dương $m,n$ (không nhất thiết phân biệt) cùng màu, $f(m+n)=f(m)+f(n)$.

$\bullet$ Tồn tại các số nguyên dương $m,n$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $f(m+n)\ne f(m)+f(n)$.

 

$3$. Có $2017$ đường thẳng trên mặt phẳng sao cho không có ba đường nào đồng quy. Cô ốc sên $\text{Turbo}$ nằm trên một điểm thuộc đúng một đường trong số này và bắt đầu trượt đi dọc theo các đường theo nguyên tắc sau: cô ta di chuyển trên đường thẳng cho đến khi gặp một giao điểm của hai đường thẳng. Tại đây, cô ta sẽ tiếp tục hành trình trên trên đường thẳng thứ hai, theo một trong hai hướng trái hoặc phải, và thay đổi cách chọn hướng trong lần kế tiếp (tức là trái - phải - trái - phải...). $\text{Turbo}$ chỉ được thay đổi hướng tại các giao điểm. Liệu có tồn tại một đoạn thẳng mà $\text{Turbo}$ đi theo cả hai hướng trong hành trình của mình hay không?

 

Ngày $2$.

 

$4$. Cho $n\geq 1$ là một số nguyên và $t_1<t_2<\cdots <t_n$ là các số nguyên dương. Trong một nhóm gồm $t_n+1$ người, một số ván cờ đã được chơi. Hai người có thể chơi với nhau nhiều nhất là một lần. Chứng minh rằng có thể xảy ra đồng thời hai sự kiện sau:
$\bullet$ Số ván cờ được chơi bởi mỗi người là một số trong $t_1,t_2,\dots ,t_n$.

$\bullet$ Với mỗi $i$ mà $1\leq i\leq n$, có một người nào đó đã chơi đúng $t_i$ ván cờ.

 

$5$. Cho $n\geq 2$ là một số nguyên. Một bộ $n$ số $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ gồm các số nguyên dương phân biệt được gọi là đắt đỏ nếu tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho

$$(a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdots (a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k-1}.$$

  a. Tìm tất cả các số nguyên $n\geq 2$ sao cho tồn tại một bộ $n$ đắt đỏ.

  b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương lẻ $m$, tồn tại một số nguyên $n\geq 2$ sao cho $m$ thuộc vào một bộ $n$ đắt đỏ

 

$6$. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Điểm đối xứng của trọng tâm $G$ và tâm ngoại tiếp $O$ của $ABC$ qua các cạnh $BC,AC,AB$ là $G_1,G_2,G_3$ và $O_1,O_2,O_3$, theo thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $G_1G_2C,G_1G_3B,G_2G_3A,O_1O_2C,O_1O_3B,O_2O_3A$ và $ABC$ đều có một điểm chung.

 

 

$$\text{HẾT}$$

 

Hy vọng có thành viên nữ nào đó vào giải đề này :-D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 23-04-2017 - 21:33


#2
congchuamanhme0606

congchuamanhme0606

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

https://lh3.googleus...ovqrxKpiNQ=s170



#3
congchuamanhme0606

congchuamanhme0606

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Lời giải bài hình ngày 1
Xét góc $\angle ANC có$ :
$\angle CNA=\angle PNA+ \angle CNP=\angle PNA+\angle CNQ Mà \Delta APS và CQR vuông tại A và C có trung điểm cạnh huyền là N \Rightarrow \angle PNA= 2\angle ASN=2\angle ASR=2\angle DSR \angle CNQ=2\angle CNR=2\angle DRS \Rightarrow \angle PNA+\angle CNQ= 2 (\angle DSR+\angle DRS)=2\angle ADC=\angle AMC \Rightarrow \angle AMC=\angle ANC \Rightarrow A,M,N,C đồng viên .$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congchuamanhme0606: 24-04-2017 - 22:16


#4
dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết

anh ơi em hỏi tí ạ. cái bài 3 các đường thẳng có đôi một không song song không ạ ?


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh