Tìm số nguyên dương a;b để $(a^2+b)(b^2+a)$là lũy thừa của 2
$(a^2+b)(b^2+a)$
#1
Đã gửi 27-04-2017 - 19:39
#2
Đã gửi 27-04-2017 - 22:59
Tìm số nguyên dương a;b để $(a^2+b)(b^2+a)$là lũy thừa của 2
Giả sử $(a^2+b)(b^2+a)=2^m (m \in Z^{+})$
Đặt $a^2+b=2^x,b^2+a=2^y (x+y=m)$
Không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y $
$\Rightarrow 2^y \mid 2^x$
$\Rightarrow b^2+a \mid a^2+b$
$\Rightarrow b^2+a \mid a^4-b^2+b^2+a$
$\Rightarrow b^2+a \mid a^4+a$
$\Rightarrow 2^y \mid a(a+1)(a^2-a+1)$
Vì $a^2-a+1=a(a-1)+1$ là số lẻ nên $2^y \mid a(a+1)$
$\Rightarrow 2^y \mid a$ hoặc $2^y \mid a+1$
Suy ra $a \geq b^2+a-1 \Rightarrow 1 \geq b^2 \Rightarrow b=1$
Từ đó tìm được $(a,b)=(1,1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 27-04-2017 - 23:00
- kienvuhoang, yeutoan2001, NHoang1608 và 1 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh