Đến nội dung

Hình ảnh

$(a^2+b)(b^2+a)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Tìm số nguyên dương a;b để $(a^2+b)(b^2+a)$là lũy thừa của 2



#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Tìm số nguyên dương a;b để $(a^2+b)(b^2+a)$là lũy thừa của 2

Giả sử $(a^2+b)(b^2+a)=2^m (m \in Z^{+})$

Đặt $a^2+b=2^x,b^2+a=2^y (x+y=m)$

Không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y $

$\Rightarrow 2^y \mid 2^x$

$\Rightarrow b^2+a \mid a^2+b$

$\Rightarrow b^2+a \mid a^4-b^2+b^2+a$

$\Rightarrow b^2+a \mid a^4+a$

$\Rightarrow 2^y \mid a(a+1)(a^2-a+1)$

Vì $a^2-a+1=a(a-1)+1$ là số lẻ nên $2^y \mid a(a+1)$

$\Rightarrow 2^y \mid a$ hoặc $2^y \mid a+1$

Suy ra $a \geq b^2+a-1 \Rightarrow 1 \geq b^2 \Rightarrow b=1$

Từ đó tìm được $(a,b)=(1,1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 27-04-2017 - 23:00





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh