Chủ đề này có 56 trả lời

[SUPERMAN2000]

Câu 4.

Theo bất đẳng thức $\textbf{B-C-S}$ ta có:

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le \sum \frac{1+a+ca}{1+a+b} $

BCS kiểu sao vậy bạn

[Mr Cooper]

BCS kiểu sao vậy bạn

$(1+1+a)^2 \le (1+ca+a)(a+b+1)$

[Mr Cooper]

Ngày 2

 

Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn

\[k^2-k+4=5^m(2+10^n)\]

 

Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$ cắt $BC$ tại $L$. $AL$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Giả sử $KF$ cắt $BC$ tại $T$. $Q$ đối xứng $P$ qua $K$. $AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$.

 

a) Chứng minh rằng $PT$ song song với $KR$.

 

b) Gọi giao điểm của $AP$ và $(O)$ là $E$ khác $A$. Chứng minh rằng hai tam giác $KEP$ và $KET$ có diện tích bằng nhau. 

 

Câu 7. Giả sử $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ gồm các số thuộc tập $M= \lbrace 1,2,...,m \rbrace $ sao cho $a_1+a_2+a_3+...+a_n=2S$ với $S$ là số nguyên chia hết cho mọi phân tử của $M$. Chứng minh rằng người ta có thể chọn từ $A$ một số số có tổng bằng $S$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 07-05-2017 - 15:16
Sửa đề hình

[SUPERMAN2000]

$(1+1+a)^2 \le (1+ca+a)(a+b+1)$

TKS

[nguyen thanh phong]

de kho qua

[quanghung86]

2 ngày thi kết thúc thành công, các bài trong đề thi hợp lý, hay và đẹp. Bài hình ngày 2 là một kết quả có giá trị, có thể viết gọn lại đề như sau

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có tâm nội tiếp $I$. $AI$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là điểm sao cho $KP=KI$. $KP$ cắt $BC$ tại $L$. $AL,AP$ cắt $(O)$ tại $E,F$ khác $A$. $EK$ cắt $BC$ tại $T$. Chứng minh rằng $KF$ chia đôi $PT$.

 

[manhtuan00]

Lời giải bài đa thức

Thế $a = x+1,b = -2x-1,c = -2x-3$, khi đó ta có $P^2(x+1)+P^2(-2x-1)+P^2(-2x-3) = P^2(-3x-3)+2$

So sánh hệ số bậc $2n$ ta có $1+(-2)^n+(-2)^n = (-3)^n$.

Tức là $(-1)^{n+1} = 3^n-2^{n+1}$. Điều này chỉ đúng khi $ n =1$

Vậy $P(x) = ax+b$. Thay vào ta có $a2+b^2 = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 07-05-2017 - 14:00

[quanghung86]

Câu hình ngày 1 là bài cũng có giá trị, phát biểu cần 2 ý liên kết, đặc trưng cho phương pháp hàng điểm điều hòa. Chúng ta hãy thử tìm một lời giải không dùng pp hàng điều hòa cho bài đó ?

 

[manhtuan00]

Em xin phép giải câu hình 2 ạ 

a, Gọi $U$ là giao điểm của $KR$ với $BC$

Ta có $KT.KF = KB^2 $ nên $\angle KTB = \angle KBF = \angle KAF$. Suy ra $ADFT$ nội tiếp. Khi đó ta có $LD.LT = LF.LA = LB .LC = LP.LQ$ nên tứ giác $TPDQ$ nội tiếp

Lại có $KR.KU = KC^2$ nên tứ giác $ADRU$ nội tiếp. Và $KQ^2 = KC^2 = KD.KA$ nên ta có $\angle DUR = \angle DAR = \angle KQD = \angle PTD$. Từ đây suy ra $KR \parallel TP$

b,Gọi $M$ là giap điểm của $PK$ với $(O)$.Ta có $KL.KM = KB^2 = KP^2 = KQ^2$ nên $(ML,PQ) = -1 = A(ML,PQ) = A(MF,ER) = (MF,ER) = K(MF,ER) \implies KE$ chia đôi $TP$

 

[lmht]

Câu 4.

Từ $abc=1$ ta có. 

Bổ đề quen thuộc: $\sum \frac{1}{1+a+b} \le 1$ với $abc=1$

Theo bất đẳng thức $\textbf{B-C-S}$ ta có:

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le \sum \frac{1+a+ca}{1+a+b}  = \left( \sum \frac{1}{1+a+b} \right) (1+a+ca) \le 1+a+ca$

 

P/s: ở dòng 4 mình dùng kí hiệu $\sum$ nhưng nó không được phù hợp cho lắm

Mình không hiểu lời giải của bạn

Đề kêu chứng minh $\left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca$

 

Nhưng bạn lại chứng minh là $\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le 1+a+ca$

[lmht]

Có ai giải ra câu tổ không ?

[Hoang Dinh Nhat]

Mình không hiểu lời giải của bạn

Đề kêu chứng minh $\left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca$

 

Nhưng bạn lại chứng minh là $\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le 1+a+ca$

 

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2$ là tổng các hoán vị của nó

[quanghung86]

Lời giải của Tuấn cho bài ngày 2 rất tốt, đúng hướng đáp án, câu b) cũng là 1 ý dùng hàng điều hòa thú vị.

[Cosmos Lucio]

Câu 5: Thì cách mình thế này:

Ta chứng minh được $n>0$ vì vế trái của phương trình chia hết cho 2, nên $(2+10^n)$ chia hết cho $2$, nên $n\geq1$ 

Với $m\geq2$ thì $5^m(2+10^n)$ chia hết cho $25$, nên $k^2-k+4$ chia hết cho $25$.

Nên $k(k-1)\equiv-4\equiv 21=1.21=3.7$ (mod 25).

Mà điều trên là không thể, nên $k^2-k+4$ không chia hết cho $25$, với mọi số tự nhiên $k$. Ta được $m=0;m=1$.

Với $m=0$ thì ta có:

$k^2-k+2=10^n$. Với $\Delta=1^2-4(2-10^n)=4*10^n-7$ là số chính phương.

Nhưng ta thấy $\Delta$ trên luôn có chữ số tận cùng là $3$, nên $\Delta$ không thể là số chính phương.

Nên với $m=0$ thì phương trình không có nghiệm $n;k$ tự nhiên.

Với $m=1$ thì ta có:

$k^2-k-6=5.10^n$. Với $\Delta=1-4(-6-5.10^n)=20.10^n+25$ là số chính phương.

Nên $\Delta$ chính phương thì có dạng $(10q+5)^2$. Nên $20.10^n+25=(10q+5)^2$.

Hay $5q^2+5q=5q(q+1)=5.10^n=2^n.5^{n+1}$.

Đến đây thì mình tìm được $n=1;n=2$. Nên có được $k=8;k=23$.

Vậy nên, tập nghiệm $(m,n,k)$ của phương trình là $(1;1;8);(1;2;23)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cosmos Lucio: 07-05-2017 - 14:47

[Cosmos Lucio]

Cách trên của mình có lẽ hơi dài.

Mấy bạn có cách khác hay hơn thì cho mình được biết thêm với.

[SUPERMAN2000]

 

Ngày 2

 

Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$ cắt $BC$ tại $L$. $AL$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$

a) Chứng minh rằng $PT$ song song $KR$

b) Gọi giao điểm của $AP$ và $(O)$ là $E$ khác $A$. Chứng minh rằng tam giác $KEP$ và $KET$ có diện tích bằng nhau.

 

T, R là gì vậy bạn ơi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SUPERMAN2000: 07-05-2017 - 14:54

[Cosmos Lucio]

T, R là gì vậy bạn ơi

 

Bạn Mr Cooper đánh thiếu đề rồi kìa bạn.

[SUPERMAN2000]

Bài 5 cũng sử dụng v₅ như bài 1

[Cosmos Lucio]

Bài 5 cũng sử dụng v₅ như bài 1

 

Bạn làm cụ thể dùm mình được không? Mình chưa học cái $v_5$

[SUPERMAN2000]

Bạn làm cụ thể dùm mình được không? Mình chưa học cái $v_5$