Chủ đề này có 4 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Phương trình $2017^{\sin x}=\sin x +\sqrt{2-\cos^2 x}$ có bao nhiêu nghiệm thực trong $\left [ -5\pi ;2017\pi \right ]$

A. Vô nghiệm

B. $2017$

C. $2022$

D. $2023$

[chanhquocnghiem]

Phương trình $2017^{\sin x}=\sin x +\sqrt{2-\cos^2 x}$ có bao nhiêu nghiệm thực trong $\left [ -5\pi ;2017\pi \right ]$

A. Vô nghiệm

B. $2017$

C. $2022$

D. $2023$

$2017^{\sin x}=\sin x+\sqrt{2-\cos^2x}\Leftrightarrow 2017^{\sin x}=\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}$

Dễ thấy $x=k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$) là một tập nghiệm của phương trình.

Mà trong $\left [-5\pi;2017\pi \right ]$ đã có đến $2023$ nghiệm có dạng $k\pi$ nên không ngần ngại chọn đáp án $D$.

[nguyenhongsonk612]

$2017^{\sin x}=\sin x+\sqrt{2-\cos^2x}\Leftrightarrow 2017^{\sin x}=\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}$

Dễ thấy $x=k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$) là một tập nghiệm của phương trình.

Mà trong $\left [-5\pi;2017\pi \right ]$ đã có đến $2023$ nghiệm có dạng $k\pi$ nên không ngần ngại chọn đáp án $D$.

Câu này mà gặp trong phòng thi tớ chỉ dự đoán nghiệm, có cách nào để chứng minh đây là nghiệm duy nhất không bạn

[chanhquocnghiem]

Câu này mà gặp trong phòng thi tớ chỉ dự đoán nghiệm, có cách nào để chứng minh đây là nghiệm duy nhất không bạn

Đặt $t=\sin x$ ($t\in [-1;1]$)

Chứng minh phương trình đã cho có 1 tập nghiệm duy nhất $x=k\pi$ cũng đồng nghĩa với chứng minh phương trình :

$t+\sqrt{1+t^2}-2017^t=0$ có 1 nghiệm duy nhất thuộc $[-1;1]$

Đặt $f(t)=t+\sqrt{1+t^2}-2017^t\Rightarrow f'(t)=1+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}-2017^t\ln 2017$

Đặt $g(t)=1+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$, $h(t)=2017^t\ln 2017\Rightarrow f'(t)=g(t)-h(t)$

Ta sẽ dùng phương pháp ước lượng

Tại $t=-1$, ta có $f(-1)=\sqrt{2}-1-2017^{-1}> 0$

+ Xét trên khoảng $\left ( -1;-\frac{1}{2} \right )$ :

Ta có $g'(t)=\frac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}> 0$ ; $h'(t)=2017^t\ln^2 2017> 0\Rightarrow g(t)$ và $h(t)$ đồng biến.

Mà $h\left ( -\frac{1}{2} \right )< g(-1)\Rightarrow$ trên khoảng đang xét ta có $f'(t)=g(t)-h(t)> 0\Rightarrow f(t)> 0$

+ Xét trên khoảng $\left (-\frac{1}{2};1 \right )$ :

Ta có $g'(t)=\frac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}< 1$, $h'(t)> 1\Rightarrow f''(t)=g'(t)-h'(t)< 0$

$\Rightarrow$ hàm $f'(t)$ đơn điệu giảm $\Rightarrow$ hàm $f(t)$ đến lúc nào đó sẽ đơn điệu giảm nên phương trình $f(t)=0$ có tối đa $1$ nghiệm.Dễ thấy nghiệm đó là $t=0$

[thichlambieng]

Đặt t = Sinx, phương trình đã cho trở thành: $t+\sqrt{1+t^2}=2017^t$ 

$\Leftrightarrow$ $ln(t+\sqrt{1+t^2}) = t.ln2017 \Leftrightarrow ln(t+\sqrt{1+t^2}) - t.ln2017 = 0$

Xét hàm số: $y=ln(t+\sqrt{1+t^2})-t.ln2017$$\Rightarrow$ y' = $\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}-ln2017$

Do đó y' < 0 => hàm số nghịch biến trên [-1; 1] => Phương trình có nghiệm duy nhất t = 0 trên [-1; 1]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thichlambieng: 10-07-2019 - 17:31