Cho $x>0; y>0$ và $x+y=3$. Tìm max của $M=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}$
#1
Đã gửi 09-05-2017 - 00:27
#2
Đã gửi 09-05-2017 - 05:57
Ta có BĐT: $\frac{x}{x+1}\leq \frac{4}{25}x+\frac{9}{25}$ (*)
$\Leftrightarrow (2x-3)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Theo BĐT trên ta có: $M=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq \frac{4}{25}(x+y)+\frac{18}{25}=\frac{6}{5}$
Max của M là $\frac{6}{5}$
P/s: thay $x=3-y$ vào M ta tìm GTLN của M theo tam thức bậc hai cũng được
- Moon4560242 yêu thích
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
#3
Đã gửi 10-05-2017 - 11:23
Cho $x>0; y>0$ và $x+y=3$. Tìm max của $M=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}$
Ta có
$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1};\frac{y}{y+1}=1-\frac{1}{y+1}$
$M=2-(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1})$
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có
$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} \geq \frac{4}{x+y+2}=\frac{4}{5}$
$\rightarrow M \geq 2-\frac{4}{5} =\frac{6}{5}$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=\frac{3}{2}$
- adteams và Moon4560242 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán 8, đại số, cực trị
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
min $P=\sum \frac{a^{2}b^{2}}{c(a^{2}+b^{2})}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 25-01-2024 cực trị |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tại sao không phải mọi tập sinh có 3 phần tử là tập cơ sởBắt đầu bởi Lyua My, 21-01-2024 đại số |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
GTNN của $A=a^{2}+2b^{2}+b$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 20-01-2024 cực trị |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
GTNN của biểu thức $A=x+\sqrt{x^{2}+\frac{8}{x}}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 19-01-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
tìm max của $P=-4a^{2}+36b-8$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 19-01-2024 cực trị |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh