\[\textbf{USA JMO 2017}\]
$\text{Ngày thứ nhất}$
Bài 1. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên $(a,b)$ sao cho $a>1,b>1$,$(a,b)=1$ và $a^b+b^a$ chia hết cho $a+b$.
Bài 2. Xét phương trình $(3x^3+xy^2)(x^2y+3y^3)=(x-y)^7$
$(a)$ Chứng minh rằng phương trình có vô hạn nghiệm nguyên dương;
$(b)$ Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình.
Bài 3. Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $P$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi $D$ là giao điểm của $PA$ và $BC$, $E$ là giao điểm của $PB$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $PC$ và $AB$. Chứng minh rằng diện tích của tam giác $DEF$ gấp đôi diện tích của tam giác $ABC$.
$\text{Ngày thứ hai}$
Bài 4. Tồn tại hay không bộ ba các số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho $(a-2)(b-2)(c-2)+12$ là một số nguyên tố và nó là ước thực sự của số nguyên dương $a^2+b^2+c^2+abc-2017$ ?
Bài 5. Cho $O$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $M$ và $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BM=CM$ và $\angle BAD = \angle CAD$. Tia $MO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$ tại $N$. Chứng minh rằng $ \angle ADO= \angle HAN$.
Bài 6. Cho $P_1,P_2,...,P_{2n}$ là $2n$ điểm phân biệt trên đường tròn $x^2+y^2=1$, khác $(1,0)$. Mỗi điểm được tô xanh hoặc đỏ, sao cho có đúng $n$ điểm đỏ và $n$ điểm xanh. Gọi $R_1,R_2,...,R_n$ là một cách đánh số các điểm đỏ. Gọi $B_1$ là điểm xanh gần $R_1$ nhất khi đi theo chiều kim đồng hồ quanh đường tròn từ $R_1$. $B_2$ là điểm xanh gần $R_2$ nhất trong các điểm xanh còn lại khi đi theo chiều kim đồng hồ quanh đường tròn từ $R_2$, và cứ thế. Chứng minh rằng số cung cùng chiều kim đồng hồ có dạng $R_i \rightarrow B_i$ chứa $(1,0)$ không phụ thuộc vào cách đánh số các điểm đỏ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 14-05-2017 - 21:18