Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi APMO 2017

apmo 2017

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Hieutran2000

Hieutran2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
Bài 1: Ta gọi 1 bộ 5 số nguyên $a,b,c,d,e$ là "sắp xếp được" nếu chúng được sắp xếp theo thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$. Xác định mọi bộ 2017 số nguyên $n_1, n_2, . . . , n_{2017}$ sao cho nếu sắp xếp chúng trên vòng tròn theo chiều kim đồng hồ thì bất kì bộ 5 số nguyên nào theo thứ tự đó trên vòng tròn đều "sắp xếp được".
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ với $AB<AC$. $D$ là giao điểm của đường phân giác trong góc $BAC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $Z$ là giao điểm của trung trực $AC$ và đường phân giác ngoài góc $BAC$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADZ$.
Bài 3: Kí hiệu $A(n)$ là số các dãy các số nguyên dương $a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k$ với $a_1+\cdots{}+a_k = n$ và mỗi số $a_i +1$ là một lũy thừa của 2 $(i = 1,2,\cdots{},k)$. Kí hiệu $B(n)$ là dãy các số nguyên dương $b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m$ mà $b_1+\cdots{}+b_m =n$ và $b_j\ge 2b_{j+1}$ $(j=1,2,\cdots{}, m-1)$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ thì $A(n)=B(n)$.
Bài 4: Gọi một số hữu tỉ $r$ là "mạnh" nếu $r$ có thể biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{p^k}{q}$ với các số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau và số nguyên dương $k>1$ nào đó. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $abc=1$. Giả sử tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $a^x + b^y + c^z$ là một số nguyên. Chứng minh $a,b,c$ đều "mạnh".
Bài 5: Cho số nguyên dương $n$. Một cặp gồm các bộ $n$ số nguyên $(a_1,\cdots{}, a_n)$ và $(b_1,\cdots{}, b_n)$ được gọi là "cặp tinh tế" nếu $$|a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1.$$ Xác định số lớn nhất các bộ $n$ số nguyên, khác nhau mà bất kì 2 bộ nào trong chúng cũng tạo thành một "cặp tinh tế".

Nguồn: https://artofproblem...51627_2017_apmo

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 16-05-2017 - 11:58

$\sum =\prod$


#2
lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Bài 4 : Xét $v_p(a)$ là số mũ ( định giá ) của số p ứng với số hữu tỷ $a$ ( p-adics valuation )

 

Nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh a,b,c là số mạnh . Ta sẽ chứng minh a là số mạnh từ đó tương tự sẽ có b,c cũng là số mạnh

 

Theo định nghĩa , r là 1 số hữu tỷ mạnh nếu mà $v_p(r)$ > 1 ( p là ước nguyên tố hình thức ( valuation của r)

 

Để có lợi , ta xẻt 1 số $p$ để $v_p(a)$ lớn hơn 0. Khi do $\nu_p(a) + \nu_p(b) + \nu_p(c) = 0$ nên ta có thể chứng minh $v_(b)$ và $v_(c)$ nhỏ hơn 0

 

 

1) Do tồn tại $x,y,z$ thoả mãn bài toán nên số mũ ( định giá ) của chúng phải >=0

2) $v_p(c^z) = v_p(b^y)$

3) Viết lại $\nu_p(c) = -y't$ và $\nu_p(c) = -y't$   vớ i$y' = \frac{y}{\gcd(y,z)}$ và $z' = \frac{z}{\gcd(y,z)}$

4)Đến đây dễ dàng có $v_p(a)$ lớn hơn 1 nên a là số mạnh . Tương tự thì b,c cũng mạnh 

 

 

Về định giá p-adic anh có thể xem VMO 2017 năm nay là 1 ví dụ . ( dù chả liên quan :) )






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh