Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 16-05-2017 - 13:18
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 16-05-2017 - 13:18
$\mathbb{VTL}$
Level 2 - JBMO TST 2 - 2017
Bài 1. Cho đa thức $f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx$. Biết rằng mỗi phương trình $f(x)=1$ và $f(x)=2$ đều có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Chứng minh rằng: nếu các nghiệm của phương trình đầu tiên thoả mãn đẳng thức $x_1+x_2=x_3+x_4$ thì đẳng thức này cũng đúng với các nghiệm của phương trình thứ hai.
Bài 2. Một số nguyên dương $k>1$ được gọi là số "đẹp" nếu với bất kỳ cặp số $(m,n)$ nguyên dương thoả mãn điều kiện $kn+m|km+n$ thì ta có $n|m$
a) Chứng minh rằng: $5$ là một số " đẹp"
b) Tìm tất cả các số "đẹp".
Bài 3. Cho đường tròn $(O)$, $BC$ là một dây cung của đường tròn $(O)$ sao cho $BC$ không là đường kính.
Cho điểm $A$ nằm trên cung lớn $BC$ của $(O)$, $E$ và $F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc hạ từ $B$ và $C$ xuống các cạnh $AC$, $AB$.
a) Chứng minh rằng: 2 tiếp tuyến của $(AEF)$ tại $E$ và $F$ giao nhau tại điểm cố định $M$ khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$.
b) Gọi $T$ là giao điểm của đoạn thẳng $EF$ và $BC$, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
Chứng minh rằng: $TH$ vuông góc với $AM$
Bài 4. Tìm số cách bạn có thể đặt số $1$ hoặc số $2$ trong mỗi ô của bàn cờ $8x$8 theo cách nào đó thoả mãn tổng các số trong mỗi cột và trong mỗi hàng là một số lẻ.
P/s: Đề mình tự dich, có gì sai sót xin chỉ giáo. Mà mình dịch từ tiếng Arab Saudi sang đó. :v
(gửi kèm hình bài 3)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 16-05-2017 - 13:51
$\mathbb{VTL}$
Bài Hình câu b là $1$ hệ quả của định lý $\text{Brocard}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 16-05-2017 - 13:22
Bài Hình câu b là $1$ hệ quả của định lý $\text{Brocard}$
Trình bày luôn @Mr.Cooper , câu này dùng Trục đẳng phương cũng được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 16-05-2017 - 13:51
$\mathbb{VTL}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh