Một tứ giác lồi có các cạnh là các số nguyên dương sao cho tổng ba số bất kì trong chúng đều chia hết cho số còn lại. CMR tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
Một tứ giác lồi có các cạnh là các số nguyên dương sao cho tổng ba số bất kì trong chúng đều chia hết cho số còn lại. CMR
Bắt đầu bởi cunbeocute2810, 16-05-2017 - 20:35
#2
Đã gửi 17-05-2017 - 20:00
minhmeo68
-
- Thành viên mới
-
- 37 Bài viết
Binh nhất
Gọi bốn cạnh của tứ giác đó lần lượt là a, b, c, d (a, b, c, d thuộc N*)
Giả sử tứ giác đó không có hai cạnh nào bằng nhau, không mất tính tổng quát, ta có: a > b > c > d (1)
Do tứ giác đã cho là tứ giác lồi
Suy ra a < b + c + d (Kẻ đường chéo xuống, dùng bất đẳng thức tam giác để chứng minh) (3)
Từ (1), ta có b + c + d < 3a (4)
Từ (3), (4) ta được a < b + c + d < 3a
Suy ra 2a < a + b + c + d < 4a (5)
Theo đề bài,, ta có: b + c + d chia hết cho a. Suy ra a + b + c + d chia hết cho a (6)
Từ (5), (6), ta được a + b + c + d = 3a (6')
Ta có a + b + d chia hết cho c. Suy ra a + b + c + d chia hết cho c (7)
a + c + d chia hết cho b. Suy ra a + b + c + d chia hết cho b (8)
Từ (7), (8) ta được a + b + c + d = nc (n,m thuộc N*)
a + b + c + d = mb
Suy ra mb = nc = 3a
Lại có a > b > c. Suy ra 3< m < n (9)
Mặt khác m, n thuộc N*. Từ (9) suy ra m >= 4, n >= 5
Lấy (6') + (7) + (8): 3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc >= 3a + 4b + 5c
Suy ra b + 2c - d <= 0
Mâu thuẫn với (1)
Suy ra điều giả sử là sai
Ta có điều phải chứng minh
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
