\[\textbf{KOREA TST 2017}\]
$\text{Ngày thứ nhất}$
Bài 1. Cho $\triangle ABC$ nhọn có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Đường tròn $(OAB)$, gọi là $O_1$, và đường tròn $(OAC)$, gọi là $O_2$, cắt lại $BC$ tại $D\, ( \neq B )$ và $E\, ( \neq C )$ tương ứng. Trung trực của $BC$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh rằng tâm của $(ADE)$ nằm trên $AC$ khi và chỉ khi các tâm của $O_1,O_2$ và $F$ thẳng hàng.
Bài 2. Cho số nguyên dương $n$ và $(a_0, a_1, \cdots , a_n)$ là một bộ các số nguyên. Với $k=0, 1, \cdots , n$, gọi $b_k$ là số các $k$ trong $(a_0, a_1, \cdots , a_n)$. Với $k = 0,1, \cdots , n$, gọi $c_k$ là số các $k$ trong $(b_0, b_1, \cdots ,b_n)$. Tìm tất cả $(a_0, a_1, \cdots ,a_n)$ sao cho $a_0 = c_0,a_1=c_1,\cdots,a_n=c_n$.
Bài 3. Cho dãy số $(c_n)$ xác định bởi $c_n=2017^n,\,\forall n\in\mathbb{N}^*$. Xét các hàm số $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1) $f(m+n) \le 2017 \cdot f(m) \cdot f(n+325),\,\forall m,n\in\mathbb{N}^*$.
2) $0<f(c_{n+1})<f(c_n)^{2017},\,\forall n\in\mathbb{N}^*$
Chứng minh rằng tồn tại dãy số $a_1, a_2, \cdots$ sao cho với mọi $n,k$ thỏa mãn $a_k$, ta có $f(n)^{c_k} < f(c_k)^n$.
$\text{Ngày thứ hai}$
Bài 4. Cho $n>1$ số $a_0, a_1, \cdots , a_n$. thỏa mãn $a_1 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ và
$\displaystyle a_k = \frac{(n+k-1)(n-k+1)}{2(k-1)(2k+1)}a_{k-1},\quad (k=2,3, \cdots n).$
(a) Chứng minh rằng $a_1, a_2, \cdots a_n$ là các số nguyên.
(b) Chứng minh rằng có đúng một số trong $a_1, a_2, \cdots a_n$ không chia hết cho $2n-1$ và đúng một số trong đó không chia hết cho $2n+1$ nếu và chỉ nếu $2n-1$ và $2n+1$ là các số nguyên tố.
Bài 5. Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ với $L$ là trung điểm của $AB$ và $M$ là trung điểm của $CD$. Giả sử $AC \cap BD = E$ và các tia $AB$, $DC$ cắt nhau tại $F$. Gọi $LM \cap DE = P$ và $Q$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên $EM$. Chứng minh rằng nếu trực tâm của tam giác $FLM$ là $E$ thì
$\displaystyle \frac{EP^2}{EQ} = \frac{1}{2} \left( \frac{BD^2}{DF} - \frac{BC^2}{CF} \right).$
Bài 6. Trong phòng có $2017$ cái hộp đặt quanh một bàn tròn. Một tập các hộp được gọi là bạn bè nếu nó có ít nhất $2$ hộp và từ mỗi hộp trong tập, nếu ta đi ngược chiều kim đồng hồ, ta sẽ đi qua $0$ hoặc số lẻ hộp trước khi đến hộp khác trong tập. $30$ học sinh vào phòng và mỗi người chọn một tập các hộp là bạn bè, sau đó mỗi học sinh bỏ một lá thư vào trong mỗi hộp mà mình đã chọn. Chứng minh rằng nếu tập các hộp có chứa $30$ lá thư không là bạn bè thì tồn tại hai học sinh $A,B$ và hai hộp $a,b$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) $A$ chọn $a$ nhưng không chọn $b$, và $B$ chọn $b$ nhưng không chọn $a$.
(ii) Bắt đầu từ $a$ và đi ngược chiều kim đồng hồ đến $b$, số hộp ta đi qua (không kể $a$ và $b$) không phải là số lẻ và cả $A$, $B$ không chọn hộp nào trong các hộp ta đã đi qua.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 17-05-2017 - 22:30
