Iran TST 2017
Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ là hình thang với $AB||CD$. Các đường chéo của hình thang cắt nhau tại $P$. Gọi $\omega _{1}$ là đường tròn qua $B$ tiếp xúc với $AC$ tại $A$. Gọi $\omega _{2}$ là đường tròn qua $C$ tiếp xúc với $BD$ tại $D$. Goi $\omega _{3}$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPC$. Chứng minh rằng dây chung của các đường tròn $\omega _{1}$, $\omega _{3}$ và dây chung của các đường tròn $\omega _{2}$, $\omega _{3}$ cắt nhau tại một điểm trên $AD$.
Bài 2. Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương thoả mãn: Không có hai số nào chia hết cho nhưng trong mỗi ba số, một số chia hết tổng hai số còn lại.
Bài 3. Xét $27$ tấm thẻ thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
1) Mỗi tấm thẻ có đúng $1$ hoặc $2$ hoặc $3$ hình tròn hoặc hình vuông hoặc hình tam giác trên nó và các hình này mang đúng một trong ba màu trắng, xám hoặc đen;
2) Trên mỗi tấm thẻ chỉ có một loại hình: hình tròn, hình vuông, hoặc hình tam giác.
Một bộ ba các tấm thẻ được gọi là "phù hợp" nếu các tấm thẻ có số lượng hình bằng nhau hoặc đôi một khác nhau, có cùng loại hình hoặc các loại hình đôi một khác nhau, và có màu của các hình giống hoặc đôi một khác nhau.
Hỏi ta có thể chọn ra nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ để không thể tạo thành một bộ ba phù hợp từ các tấm thẻ này?
Ngày thứ hai
Bài 4. Một bộ các đa thức $n$ biến với hệ số thực $(h_{1},h_{2},...,h_{n+1})$ được gọi là "tốt" nếu nó có tính chất: với mỗi số $n$ hàm $f_{1}, f_{2}, ..., f_{n}: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, nếu với mọi $1\leq i\leq n+1$, $P_{i}(x)=h_{i}(f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x) )$ là một đa thức biến $x$
thì $f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x) $
a) Chứng mình với mỗi số nguyên dương $n$, có bộ tốt $(h_{1},h_{2},...,h_{n+1})$ sao cho bậc của tất cả $h_{i}$ lớn hơn $1$.
b) Chứng minh không có số nguyên $n>1$ để có bộ tốt $(h_{1},h_{2},...,h_{n+1})$ sao cho tất cả $h_{i}$ là các đa thức đối xứng.
Bài 5. $k,n$ là hai số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng ít nhất $(k-1)(n-k+1)$ số nguyên dương có thể tạo thành khi dùng $n$ số $k$ và sử dụng các phép toán $+,-,\times,\div$ cùng cấc cặp ngoặc, nhưng không thể khi dùng $n-1$ số $k$.
Bài 6. Cho số nguyên dương $k>1$. Dãy số $a_{1},a_{2},...$ xác định bởi $a_{1}=1,a_{2}=k$ và $a_{n+1}-(k+1)a_{n}+a_{n-1}=0, \forall n\geq 1$. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $a_{n}$ là một luỹ thừa của $k$.
----HẾT----
Nguồn: Nguyễn Trung Tuân
