Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối tia AC lấy M sao cho 0<AM<AC. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM
#1
Đã gửi 19-05-2017 - 19:27
a) Chứng minh rằng tứ giác AFKE là hình vuông.
b) Chứng minh rằng AK,EF,OH đồng quy.
#2
Đã gửi 20-05-2017 - 02:58
$a.$
Để ý các tam giác: $ABM, AKB, HAC, HKC$ là các tam giác vuông và $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CH, BM$ nên ta có:
$AF=KF=\frac{1}{2}MB; AE=KE=\frac{1}{2}HC$
Lại có: $\Delta HAC=\Delta MAB(g.c.g)$ (để ý với $D=CH\cap MB$ thì tứ giác $BDAC$ nội tiếp)
Do đó: $MB=HC$ suy ra tứ giác $AFKE$ là hình thoi $(1)$
Mặt khác vì $\Delta HAC=\Delta MAB$ và $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CH, BM$ nên $\Delta AEC=\Delta AFB$
Vì vậy $\widehat{EAC}=\widehat{FAB}\Rightarrow \widehat{FAE}=\widehat{KAC}=90^{\circ}$ $(2)$
Từ $(1)(2)$ suy ra tứ giác AFKE là hình vuông
$b.$
Do $AFKE$ là hình vuông nên $AK,FE$ cắt nhau tại trung điểm $AK$
Bây giờ ta sẽ chứng minh $OH$ cũng đi qua trung điểm của $AK$
Do $\left\{\begin{matrix} OA \perp BC\\ HK \perp BC \end{matrix}\right.\Rightarrow OA \parallel HK$ $(3)$
Vẽ tiếp tuyến $Cx$ của $(O)$. Ta có: $\widehat{ACx}=\widehat{MBC}=\widehat{KAC}\Rightarrow Cx\parallel AK\Rightarrow CO \perp AK$
Lại có $AO \perp KC$ nên $O$ là trực tâm $\Delta AKC$ $\Rightarrow KO \perp AC$
Mặt khác $HA \perp AC$ nên $HA\parallel OK$ $(4)$
Từ $(3)(4)$ suy ra $OAHK$ là hình bình hành, suy ra $OH$ đi qua trung điểm $AK$
Vậy $AK, EF, OH$ đồng quy tại trung điểm $AK$
Success doesn't come to you. You come to it.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh