Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối tia AC lấy M sao cho 0<AM<AC. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
cunbeocute2810

cunbeocute2810

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối tia AC lấy M sao cho 0<AM<AC. O là tâm đường ltròn ngoại tiếp tam giác BCM, K là hình chiếu vuông góc của M trên BC, MK cắt AB tại H. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của CH và BM.
a) Chứng minh rằng tứ giác AFKE là hình vuông.
b) Chứng minh rằng AK,EF,OH đồng quy.

#2
Cuongpa

Cuongpa

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

$a.$

Để ý các tam giác: $ABM, AKB, HAC, HKC$ là các tam giác vuông và $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CH, BM$ nên ta có:

                   $AF=KF=\frac{1}{2}MB; AE=KE=\frac{1}{2}HC$

Lại có: $\Delta HAC=\Delta MAB(g.c.g)$ (để ý với $D=CH\cap MB$ thì tứ giác $BDAC$ nội tiếp)

Do đó: $MB=HC$ suy ra tứ giác $AFKE$ là hình thoi  $(1)$

Mặt khác vì $\Delta HAC=\Delta MAB$ và $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CH, BM$ nên $\Delta AEC=\Delta AFB$

Vì vậy $\widehat{EAC}=\widehat{FAB}\Rightarrow \widehat{FAE}=\widehat{KAC}=90^{\circ}$  $(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra tứ giác AFKE là hình vuông

 

$b.$

Do $AFKE$ là hình vuông nên $AK,FE$ cắt nhau tại trung điểm $AK$

Bây giờ ta sẽ chứng minh $OH$ cũng đi qua trung điểm của $AK$

Do $\left\{\begin{matrix} OA \perp BC\\ HK \perp BC \end{matrix}\right.\Rightarrow OA \parallel HK$  $(3)$

Vẽ tiếp tuyến $Cx$ của $(O)$. Ta có: $\widehat{ACx}=\widehat{MBC}=\widehat{KAC}\Rightarrow Cx\parallel AK\Rightarrow CO \perp AK$

Lại có $AO \perp KC$ nên $O$ là trực tâm $\Delta AKC$ $\Rightarrow KO \perp AC$

Mặt khác $HA \perp AC$ nên $HA\parallel OK$ $(4)$

Từ $(3)(4)$ suy ra $OAHK$ là hình bình hành, suy ra $OH$ đi qua trung điểm $AK$

 Vậy $AK, EF, OH$ đồng quy tại trung điểm $AK$

Hình gửi kèm

  • VMF1.jpg

Success doesn't come to you. You come to it.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh