Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$1.(a+b+c)^{3} \geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$
$2.a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$1.(a+b+c)^{3} \geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$
$2.a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$
$\mathbb{VTL}$
1.Tại đây:https://diendantoanh...sqrt3a-bb-cc-a/
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$1.(a+b+c)^{3} \geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$
$2.a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$
TH1: $\frac{b+c}{2}-a\leq 0\Rightarrow$ đpcm
TH2: $\frac{b+c}{2}-a\geq 0$ . Đặt $b+c=2(a+x)$
$VT=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) =(3a+2x)[(b-a)^{2}+(c-a)^{2}+a(b+c)-a^2-bc]\geq 2x[\frac{(b+c-2a)^2}{2}+a(2a+2x)-a^{2}-\frac{(b+c)^2}{4}]=2x(2x^2+a^2+2ax-(a+x)^2)=2x^3=VP$
mình làm ẩu, mong mọi người kiểm tra hộ
=> do what you love and love what you do <=
$2.a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$
Nếu $a=\max\{a,b,c\}$ thì bất đẳng thức hiển nhiên, xét $a=\min\{a,b,c\}$ bất đẳng thức trên tương đương với
\[3(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)a+\frac34(b-c)^2(b+c-2a) \geqslant 0.\]
Hiển nhiên đúng.
2. Ta chỉ cần chứng minh
\[(a+b+c)^3 \geqslant 6\sqrt3|(a-b)(b-c)(c-a)|.\]
Giả sử $a \geqslant b \geqslant c.$ Khi đó
\[\begin{aligned}&(a+b+c)^3 \geq (a+b-2c)^3 \\& = 6\sqrt{3}(a-b)(a-c)(b-c)+\left[2(b-c)-(\sqrt{3}-1)(a-b)\right]^2\left[\frac{\sqrt{3}}{2}(a-b)+(a+b-2c)\right] \\& \geq 6\sqrt{3}(a-b)(a-c)(b-c). \end{aligned}\]
P/s. Bài 1 còn một phân tích tốt hơn như sau
\[a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geqslant 2\left(\frac{b+c}{2}-a\right)^{3} = \frac34a(b+c-2a)^2+\frac34(b-c)^2(a+b+c) \geqslant 0.\]
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh