Đến nội dung

Hình ảnh

$1.(a+b+c)^{3} \geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$ $2.a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

$1.(a+b+c)^{3} \geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$

$2.a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$


$\mathbb{VTL}$


#2
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

1.Tại đây:https://diendantoanh...sqrt3a-bb-cc-a/


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#3
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

$1.(a+b+c)^{3} \geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$

$2.a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$

TH1: $\frac{b+c}{2}-a\leq 0\Rightarrow$ đpcm

TH2: $\frac{b+c}{2}-a\geq 0$ . Đặt $b+c=2(a+x)$

$VT=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) =(3a+2x)[(b-a)^{2}+(c-a)^{2}+a(b+c)-a^2-bc]\geq 2x[\frac{(b+c-2a)^2}{2}+a(2a+2x)-a^{2}-\frac{(b+c)^2}{4}]=2x(2x^2+a^2+2ax-(a+x)^2)=2x^3=VP$

mình làm ẩu, mong mọi người kiểm tra hộ :)



#4
F IT Hacker

F IT Hacker

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
Câu 1 : G/S a>b, a>c
Bỏ qua TH b>c
Ta xét b<c
Ta có VT >= (a + c)^3 (1)
VP =< ac(a - c) (2)
Ta chỉ cần c/m (a + c)^3 >= ac(a - c) là ok thôi
P/S : On = Galaxy A7 nên ko gõ latex đc

=> do what you love and love what you do <=


#5
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
$2.a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$

 

Nếu $a=\max\{a,b,c\}$ thì bất đẳng thức hiển nhiên, xét $a=\min\{a,b,c\}$ bất đẳng thức trên tương đương với

\[3(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)a+\frac34(b-c)^2(b+c-2a) \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng.

 


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#6
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

2. Ta chỉ cần chứng minh

\[(a+b+c)^3 \geqslant 6\sqrt3|(a-b)(b-c)(c-a)|.\]

Giả sử $a \geqslant  b \geqslant c.$ Khi đó

\[\begin{aligned}&(a+b+c)^3 \geq (a+b-2c)^3 \\& = 6\sqrt{3}(a-b)(a-c)(b-c)+\left[2(b-c)-(\sqrt{3}-1)(a-b)\right]^2\left[\frac{\sqrt{3}}{2}(a-b)+(a+b-2c)\right] \\& \geq 6\sqrt{3}(a-b)(a-c)(b-c). \end{aligned}\]

P/s. Bài 1 còn một phân tích tốt hơn như sau

\[a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \geqslant 2\left(\frac{b+c}{2}-a\right)^{3} = \frac34a(b+c-2a)^2+\frac34(b-c)^2(a+b+c) \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh