Chủ đề này có 7 trả lời

[dangqxdang]

Cho a>0, b>0, c> 0 và abc = 1. Chứng minh:

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geqslant\frac{3}{2}$

[adteams]

Cho a>0, b>0, c> 0 và abc = 1. Chứng minh:

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geqslant\frac{3}{2}$

Đặt (1/x ;1/y ; 1/z )=(a;b;c) => xyz =1... cauchy ... 
.... nghĩ là vậy

[sharker]

$\[\sum {\frac{{{a^2}{b^2}}}{{ab + ac}}}  \ge \frac{{{{(ab + bc + ac)}^2}}}{{2(ab + bc + ac)}} \ge \frac{{ab + bc + ac}}{2} \ge \frac{3}{2}\]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 20-05-2017 - 15:04

[TenLaGi]

Cần chứng minh: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

                    $\Leftrightarrow \frac{a^2b^2c^2}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

                     $\Leftrightarrow \frac{b^2c^2}{ab+ac}\geq \frac{3}{2}$

                   Đến đây áp dụng bđt Bunhiacôpxki dạng En-gel là ra

[dangqxdang]

Có cách nào chỉ dung Cauchy mà ra ko ạ

[dangqxdang]

Có cách nào chỉ dung Cauchy mà ra ko ạ

À mình nghĩ ra rồi: Có thể làm thế này: 

$\frac{a^2b^2}{a(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq ab$

Do đó: $VT\geq ab+bc+ca-\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}/2=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangqxdang: 21-05-2017 - 09:38

[KietLW9]

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều và ngược chiều, ta được: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3.[\frac{x}{y+z}.(y+z)+\frac{y}{z+x}.(z+x)+\frac{z}{x+y}.(x+y)]=\frac{x+y+z}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[tkd23112006]

Ta có:

  $\sum_{cyc}^{}a(b+c).\sum_{cyc}^{}\frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq(\sum_{cyc}^{}\frac{\sqrt{a(b+c)}}{a\sqrt{a(b+c)}})^{2}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=(ab+bc+ac)^{2}$

Chia hai vế cho 2(ab+bc+ca) và sử dụng BĐT Cauchy ta được đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tkd23112006: 01-09-2021 - 09:08