Chủ đề này có 1 trả lời

[Subtract Zero]

Cho đoạn thẳng AB và 3 điểm X,Y,Z bất kì không thuộc AB. CMR: Khi A hoặc B là trực tâm tam giác XYZ, 3 đường tròn Euler của 3 tam giác XAB, YAB, ZAB có 2 điểm chung.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Subtract Zero: 21-05-2017 - 21:34

[trihoctoan]

Ta sẽ phát biểu lại bài toán như sau cho dễ hình dung:

Cho tam giác ABC có trực tâm H.H' là một điểm bất kỳ.Khi đó:đường tròn euler của các tam giác AHH',BHH',CHH' có hai điểm chung.

Chứng minh: Gọi X,Y,Z,U,V,L,K lần lượt là trung điểm của HH',AH',AH,HB,H'B,HC,H'C.Ta có giao điểm chung thứ nhất của ba đường tròn (XYZ),(XLK),XUV) là X

Gọi giao điểm thứ hai của (UVX),(XLK) là T .Ta thấy (ZUL) là đường tròn euler của tam giác ABC .Ta có :

H là trực tâm tam giác ZUL..Mà: (TU,TL)=(TU,TX)+(TX,TL)=(VU,VX)+(KL,KX)=(HB,HH')+(HH',HC)=(HU,HL)=(ZU,ZL)(mod 180).Suy ra :T thuộc (ZUL).Tương tự nếu gọi T' là giao điểm của (XYZ) và (XLK) thì T' thuộc (ZUL).Suy ra T trùng T'.Suy ra (XYZ),(XLK),(XUV) có hai điểm chung là X và T.