Chủ đề này có 1 trả lời

[cunbeocute2810]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho $x^2+8y$ và $y^2+8x$ là các số chính phương.

[NHoang1608]

2. Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y$ 

$\Rightarrow x^{2}< x^{2}+8y \leq x^{2}+8x < (x+4)^{2}$

VÌ $x^{2}+8y$ là số chính phương suy ra $x^{2}+8y=(x+1)^{2}$ hoặc $x^{2}+8y=(x+2)^{2}$ hoặc $x^{2}+8y=(x+3)^{2}$

Nếu $x^{2}+8y=(x+1)^{2}$

       $\Rightarrow 8y=2x+1$ (vô lí vì 1 bên lẻ 1 bên chẵn)

Nếu $x^{2}+8y=(x+2)^{2}\Rightarrow 8y=4x+4 \Rightarrow 2y=x+1$

        $\Rightarrow (\frac{x+1}{2})^{2}+8x$ là số chính phương.

        $\Rightarrow x^{2}+34x+1=a^{2}$ với $a\in \mathbb{N}$

        $\Rightarrow (x+17)^{2}-288=a^{2}$

        $\Rightarrow (x+17-a)(x+17+a)=288$

Đến đây thì dễ rồi

Nếu $x^{2}+8y=(x+3)^{2} \Rightarrow 8y=6x+9$ (Vô lí vì $VT$ chẵn còn $VP$ thì không)