Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho $x^2+8y$ và $y^2+8x$ là các số chính phương.
#1
Đã gửi 22-05-2017 - 00:08
- Tea Coffee yêu thích
#2
Đã gửi 22-05-2017 - 10:07
2. Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y$
$\Rightarrow x^{2}< x^{2}+8y \leq x^{2}+8x < (x+4)^{2}$
VÌ $x^{2}+8y$ là số chính phương suy ra $x^{2}+8y=(x+1)^{2}$ hoặc $x^{2}+8y=(x+2)^{2}$ hoặc $x^{2}+8y=(x+3)^{2}$
Nếu $x^{2}+8y=(x+1)^{2}$
$\Rightarrow 8y=2x+1$ (vô lí vì 1 bên lẻ 1 bên chẵn)
Nếu $x^{2}+8y=(x+2)^{2}\Rightarrow 8y=4x+4 \Rightarrow 2y=x+1$
$\Rightarrow (\frac{x+1}{2})^{2}+8x$ là số chính phương.
$\Rightarrow x^{2}+34x+1=a^{2}$ với $a\in \mathbb{N}$
$\Rightarrow (x+17)^{2}-288=a^{2}$
$\Rightarrow (x+17-a)(x+17+a)=288$
Đến đây thì dễ rồi
Nếu $x^{2}+8y=(x+3)^{2} \Rightarrow 8y=6x+9$ (Vô lí vì $VT$ chẵn còn $VP$ thì không)
- manhhung2013, adteams và Tea Coffee thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
3 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh