Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bigway1906: 24-05-2017 - 23:42
Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bigway1906: 24-05-2017 - 23:42
Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$
C/m: 1/a^2 - a^2 >= -4a +4
vs a thuộc [1/3 ; 7/3 ]
tương tự
=> DPCM ( :
[Dương Tuệ Linh ]
[Linh]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 25-05-2017 - 05:53
Xét BĐT phụ: $\frac{1-a^4}{a^2}\geq -4a+4$ là xong
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca) \geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq 9$
Áp dụng Am-Gm:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(ab+bc+ca)^{2}}=3\sqrt[3]{\frac{(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{4}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)^{2}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}=9$
(Áp dụng BĐT: $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$
.................................
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 08-06-2017 - 18:12
Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$
Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$
Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$
Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$
$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh