Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{sinAsinB}{tanA+tanB}+\frac{sinBsinC}{tanB+tanC}+\frac{sinCsinA}{tanC+tanA} \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

- - - - - lượng giác

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Nghiapnh1002

Nghiapnh1002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Trong mọi tam giác nhọn $ABC$ chứng minh rằng

$\frac{sinAsinB}{tanA+tanB}+\frac{sinBsinC}{tanB+tanC}+\frac{sinCsinA}{tanC+tanA} \leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$



#2
khgisongsong

khgisongsong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

$\frac{sinAsinB}{tanA+tanB}\leq\frac{(sinA+sinB)^2}{4(tanA+tanB)}\leq\frac{sin^2A}{4tanA}+\frac{sin^2B}{4tanB}=\frac{sinA.cosA}{4}+\frac{sinB.cosB}{4}=\frac{sin(2A)}{8}+\frac{sin(2B)}{8}$

suy ra $VT\leq\frac{sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)}{4}$

$sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=2sin(A+B)cos(A-B) + 2 sinCcosC$

$=2sinCcos(A-B)+2sinCcosC$

$=2sinC ( cos(A-B) + cosC)$

$=2sinC ( cos(A-B) - cos(A+B))$

$=2sinC.2sinAsinB$

$=4sinAsinBsinC$

suy ta $VT<=sinA.sinB.sinC$

gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có

$(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})^2\geq0$

$<=>3R^2\geq-2(\vec{OA}.\vec{OB}+\vec{OA}.\vec{OC}+\vec{OC}.\vec{OB})$

$<=>9R^2\geq(OA^2+OB^2-2\vec{OA}.\vec{OB})+(OC^2+OB^2-2\vec{OC}.\vec{OB})+(OA^2+OC^2-2\vec{OA}.\vec{OC})$

$<=>9R^2\geq a^2+b^2+c^2\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}$

$<=>3\sqrt{3}R\geq a+b+c$

$<=>\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$<=>sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

suy ra $VT\leq sinA.sinB.sinC \leq(\frac{(sinA+sinB+sinC)}{3})^3=\frac{3\sqrt{3}}{8}$


$\frac{(x!)^2.(-1)^x+1}{2x+1}\in Z $ (với $x\in N)<=>2x+1$ là số nguyên tố






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lượng giác

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh