Chủ đề này có 3 trả lời

[thinhnarutop]

^{Giải hệ phương trình:}

$\left\{\begin{matrix}x^4+1=(x-y)(x+y)+y(1+x^2) \\ \sqrt[2016]{x}+2017y=\frac{2017}{x}+\sqrt[2016]{\frac{1}{y}} \end{matrix}\right.$

[duylax2412]

$ĐK:x,y>0$

Phương trình đầu biến đổi thành:

$y^2-(1+x^2)y+(x^4-x^2+1)=0$

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn $y$,$x$ là tham số.

Có: $\Delta_{y}=(x^2+1)^2-4(x^4-x^2+1)=-3(x^2-1)^2$

Để phương trình trên có nghiệm $\leftrightarrow \Delta_{x}\geq0 \leftrightarrow-3(x^2-1)\geq 0 \leftrightarrow x=1$ (do:$:x \geq 0$)

Thay vào phương trình thứ hai,suy ra hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 31-05-2017 - 18:41

[Baoriven]

Nhận thấy ngay PT $2$ không dễ đánh giá, nên ta lợi dụng điều kiện $x,y> 0$.

Viết lại PT $1$ như sau: $x^4+y^2+1=x^2y+y+x^2$. $(*)$

Ta có đánh giá sau: $\left\{\begin{matrix}x^4+y^2\geq 2x^2y \\ y^2+1\geq 2y \\ x^4+1\geq 2x^2 \end{matrix}\right.$

Do đó: $VT(*)\geq VP(*)$.

Nên: $x^2=y=1$.

Do điều kiện nên: $x=y=1$.

Thử lại với PT $2$ ta thấy thỏa mãn.

Vậy $x=y=1$ là nghiệm của hệ.

[tuaneee111]

Ta có: $${x^4} + 1 - \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + y\left( {1 + {x^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} - y} \right)}^2}} \right) \geqslant 0$$Do đó dấu "=" xảy ra khi ${x^2} = y = 1$. 

Thế vào phương trình 2 ta thấy $x = y = 1$ thỏa mãn đề bài!