Chủ đề này có 9 trả lời

[NHoang1608]

Năm nay BĐT chuyển lên câu đầu @-@, các thánh bđt cẩn thận nhá không lại tạch bây h.

 

Nguồn: A Nguyễn Lê Phước .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-06-2017 - 16:46

[Minhnksc]

Xử câu đầu
Cộng các số đã cho và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương; ta có
$a^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+(b^2+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})+(c^2+\frac{1}{c}+\frac{1}{c})+(d^2+\frac{1}{d}+\frac{1}{d})\geq \sum_{a;b;c;d}3\sqrt[3]{a^2.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}}=12$
Từ đây suy ra đpcm

P/s: ai gõ tex đi; câu 3 mình không nhìn thấy số mũ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 01-06-2017 - 17:05

[linhk2]

cậu nào vẽ hộ tớ cái hình đk không tớ chưa vẽ quen

[Joker9999]

Ai làm giúp t câu 3 với

[Hoang Dinh Nhat]

Nhìn đi nhìn lại được câu pt dễ nhất

PT $\Leftrightarrow \sqrt{(x^2+2x+2)^2}-\sqrt{(x^2+x+1)^2}=2017\Leftrightarrow x=2016$

[Mr Cooper]

Câu 4.

a) Bổ đề.  Từ $A$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ vẽ $2$ tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn $(O)$ ($B,C$ là các tiếp điểm). Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Từ điểm $M$ bất kỳ thuộc cạnh $PQ$ kẻ tiếp tuyến $MD$ của đường tròn. Chứng minh rằng: $MA=MD$

Chứng minh. Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$

$OD^2=OB^2=OH.OA$ $\Rightarrow$ $OD$ là tiếp tuyến đường tròn $(O)$ 

$\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADH$ $\Rightarrow MA=MD$

Quay trở lại bài toán. Từ bổ đề ta có được: $KO^2 - KM^2 = R^2$

b) Từ Bổ đề ta có: $KC^2 = KD.KA \Rightarrow \triangle KCD \sim \triangle KAC \Rightarrow \angle KCD = \angle KAC$ hay $ \angle MCD =  \angle BAD =  \angle DBM$ 

$\Rightarrow MDCB$ là tứ giác nội tiếp

c) Gọi $L$ là trung điểm của $KD$

$ \angle AEM =  \angle MAK =  \angle EMK \Rightarrow AE \parallel KM$

$KF.KE = KD.KA \Rightarrow KF.KN=KL.KA \Rightarrow ANKL$ nội tiếp $\Rightarrow \angle LAF = \angle LNF = \angle MEK = \angle FMK$ hay $\angle KAF = \angle KMF$ 

$\Rightarrow MKFA$ nội tiếp $\Rightarrow \angle AFN = \angle AMK = \angle AIN$ $\Rightarrow I,A,N,F$ cùng thuộc một đường tròn

[NHoang1608]

Câu 3. a)

Ta có tính chất sau $a^{n}=b^{m}$ mà $(m;n)=1$ thì $a=c^{m}, b=c^{n}$

Áp dụng thì ta có $(2;3)=1$, $a^{2}=b^{3} \Rightarrow a=p^{3}$

                            $(3;4)=1$, $d^{4}=c^{3} \Rightarrow d= q^{3}$

Từ giả thiết thì ta có $p^{3}-q^{3}= 98$ 

                               $\Rightarrow (p-q)(p^{2}+pq+q^{2})=98$

Suy ra $p^{2}+pq+q^{2} = 98, p-q = 1$ $(1)$

           $p^{2}+pq+q^{2}= 49, p-q=2$ $(2)$

           $p^{2}+pq+q^{2}= 14, p-q=7$ $(*)$

$(*)$ không có nghiệm nguyên

$(1)\Leftrightarrow q=5,208$ (loại)

$(2)$ có nghiệm $p=5, q=3$

Thử lại ta thấy đúng

Vậy $a=125,d=27$ thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-06-2017 - 20:23

[TenLaGi]

Bài 3,b mình làm thế này không biết có đúng không:

+TH1: $x+\sqrt{2}\notin Z\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & x+\frac{1}{x}\in Z & \\ & x-\frac{1}{x}\in Z & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2x\in Z$

Suy ra $4x^2\in Z$$\Rightarrow 4x^2+8\sqrt{2}\notin Z\Rightarrow x^2+2\sqrt{2}\notin Z$( trái với gt)

+TH2:$x^2+2\sqrt{2}\notin Z$ tương tự TH 1

+TH3: $x-\frac{1}{x}\notin Z$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & x-\sqrt{2}\in Z & \\ & x^2+2\sqrt{2}\in Z & \end{matrix}\right.$

      $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & x^2-2\sqrt{2}x+2\in Z & \\ & x^2+2\sqrt{2} \in Z& \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\sqrt{2}(1+x)-2\in Z$

$\Rightarrow 2\sqrt{2}(1+x)\in Z$

$\Rightarrow x = \frac{a\sqrt{2}}{4}$( a thuộc Z)

$\Rightarrow 4x-4\sqrt{2}= a\sqrt{2}-4\sqrt{2}\in Z$

$\Rightarrow (a-4)\sqrt{2}\in Z\Rightarrow a=4$

$\Rightarrow x=\sqrt{2}-1$

+TH4:tương tự TH 3

Vậy x=$\sqrt{2}-1$ thỏa mãn đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TenLaGi: 02-06-2017 - 20:07

[NHoang1608]

Câu 3b) 

 Xét 4TH 

+) TH1 $x-\frac{1}{x}, x+\frac{1}{x}, x^{2}+2\sqrt{2} \in \mathbb{Z}$ 

Ta có $x+\frac{1}{x}+x-\frac{1}{x} \in \mathbb{N} \Rightarrow x \in \mathbb{Q}$

    Suy ra $x^{2} +2\sqrt{2}$ vô tỉ $\Rightarrow$ vô lí.

+) TH2 $x-\frac{1}{x}, x+\frac{1}{x}, x-\sqrt{2} \in \mathbb{Z}$ 

      Tương tự TH1

+) TH3 $x-\sqrt{2}, x+\frac{1}{x}, x^{2}+2\sqrt{2} \in \mathbb{Z}$ 

Ta có $2x -2\sqrt{2} + x^{2}+2\sqrt{2} \in \mathbb{Z}$

         $\Rightarrow x^{2}+2x \in \mathbb{Z}$

         $\Rightarrow (x+1)^{2} \in \mathbb{Z}$ $(1)$

Mặt khác $x+\frac{1}{x}+2 \in \mathbb{Z}$

               $\Rightarrow \frac{(x+1)^{2}}{x} \in \mathbb{Z}$ $(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $\frac{(x+1)^{2}}{\frac{(x+1)^{2}}{x}} \in \mathbb{Q}$

                             $\Rightarrow x \in \mathbb{Q}$ dễ thấy vô lí vì khi đó $x-\sqrt{2}$ vô tỉ.

+) TH4  $x-\sqrt{2}, x-\frac{1}{x}, x^{2}+2\sqrt{2} \in \mathbb{Z}$ 

 Đặt $x-\sqrt{2}=a$ $(a\in \mathbb{Z})$ 

Ta có $x^{2}-2\sqrt{2}x+2 \in \mathbb{Z}$

         $\Rightarrow x^{2}-2\sqrt{2}x \in \mathbb{Z}$

Suy ra $2\sqrt{2}x+2\sqrt{2} \in \mathbb{Z}$

           $\Rightarrow 2\sqrt{2}(a+1+\sqrt{2}) \in \mathbb{Z}$

           $\Rightarrow \sqrt{2}(a+1) \in \mathbb{Q}$

Vì $(a+1)\in \mathbb{N}$ cho nên $a+1=0$ suy ra $x= \sqrt{2}-1$

Thử lại ta thấy thỏa mãn, vậy $x= \sqrt{2}-1$

 

p/s: 3TH trên dài quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-06-2017 - 21:17

[duylax2412]

Câu 5:

Hình gửi kèm

Xét $3$ TH:

+) Nếu số 1 nằm trên đỉnh của tam giác lớn $ABC$,tức là $A=1$ hoặc $B=1$ hoặc $C=1$.Giả sử $A=1$.Lúc đó ta có:

$B+F=17$ và $C+E=17$.Suy ra: $(B+C) +(E+F) =34 \rightarrow 36-(D+G)=34 \rightarrow D+G=2 $(Vô lí do $D,G >1$)

+) Nếu số 1 nằm trên đỉnh của tam giác nhỏ $DEF$,giả sử $F=1$.Lúc đó,có:

$A+B=17;D+H=17$ và $G+E=17$ $\rightarrow (A+E)+(B+D)+(H+G)=51 \rightarrow 36-2C+(H+G)=51 \rightarrow 2C+15=H+G \leq 17  \rightarrow C \leq 1$ .Mà $F,C$ phân biệt nên dẫn tới mâu thuẫn.

+) Nếu số 1 nằm trên cạnh tam giác $DEF$ thì có thể giả sử  $H=1 \rightarrow D+F=17$.Do đó một trong hai số $D$ hay $F$ phải bằng $9$.Giả sử $D=9$ thì $F=8$. Ta sẽ chứng minh $E=7$.Giả sử $E \leq 6$ thì suy ra $A+C \geq 12 \rightarrow (A+B)+(B+C) \geq 12+2B \rightarrow  12+2B \leq 18-F +18-D=19 \rightarrow B \leq 3$. Suy ra $B=2;3$ (do$H=1$ rồi). Nếu $B=2$ thì suy ra $F=A=8$ (Vô lý vì mỗi số xuất hiện 1 lần).Còn nếu $B=3$ thì tính được $E=5$ và lúc đó $G=18-F-E=5=E$ cũng vô lý. Như vậy $E \geq 7$.Mà $F=8;D=9$ nên $E=7$.

Có được $D,E,F$ ta tính được $H,K,G,A,B,C$ suy ra bộ nghiệm là: 

$(A;B;C;D;E;F;G;H;K)=(6;4;5;9;7;8;3;1;2)$.Mà trong cách giải trên ta đã giả sử $H=1$ mà số $1$ có $3$ cách chọn(bằng $H$ hoặc $G$ hoặc $K$),và số $9$ cũng có $2$ cách chọn là bằng $F$ hoặc $D$ (trong cách làm trên ta chỉ giả sử $D=9$)

Do đó sẽ có hết thảy $2.3=6$ cách viết phân biệt.

 

P/s: cách trên hơi dài, hi vọng ai đó xem lại giúp,bài này dễ sai lắm!