Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip $(E):\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$. Hai điểm A, B di động trên (E) sao cho OA vuông góc với OB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
#1
Đã gửi 02-06-2017 - 14:29
ThuThao36
-
- Thành viên
-
- 220 Bài viết
Thượng sĩ
"... Xin thầy dạy cho cháu biết cách chấp nhận thất bại và cách tận hưởng niềm vui chiến thắng...." 
-Tổng thống Mỹ Abraham Lincoln-
#2
Đã gửi 02-06-2017 - 15:10
Saitohsuzuko001
-
- Thành viên mới
-
- 42 Bài viết
Binh nhất
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip $(E):\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1$. Hai điểm A, B di động trên (E) sao cho OA vuông góc với OB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Gọi $ax+by=0 (a^2+b^2\neq 0)$ là phương trình đường thẳng OA, khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{matrix} ax+by=0\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1 \end{matrix}\right.$$\Rightarrow x_{A}^{2}=\frac{ab^{2}}{4a^{2}+b^{2}}, y_{A}^{2}=\frac{4a^2}{4a^2+b^2}$$\Rightarrow OA^2=x_{A}^{2}+y_{A}^{2}=\frac{4(a^2+b^2)}{4a^2+b^2}$
Tương tự: $OB^2 = \frac{4(a^2+b^2)}{a^2+4b^2}$
Kẻ OH vuông góc với AB, H thuộc AB, ta có:
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{5}{4}\Rightarrow OH=\frac{2}{\sqrt{5}}$
Vậy đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O, bk $R=\frac{2}{\sqrt{5}}$
- ThuThao36 yêu thích
"Vậy là tôi
Dù kiếp ruồi
Sống hay chết
Vẫn tươi vui"
- William Blake -
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: elip
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
