Chủ đề này có 4 trả lời

[Hagoromo]

Cho $x\geq xy+1$. Tìm Max $M=\frac{xy}{x^2+y^2}$. ( đề bài của mình không cho $x,y$ là dương hay âm nhé !)

Câu 2: Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng $xy+yz+zx\leq \frac{2}{7}+\frac{9xyz}{7}$.

Vì em là học sinh lớp 9 rồi, nên mọi người làm ơn cố gắng giải quyết giúp em ạ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 04-06-2017 - 17:26

[tuaneee111]

Câu 2: 

Theo $AM-GM$ ta có: $xy + yz + xz \leqslant \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3} = \frac{1}{3}$

Theo $Schur$ ta có:  $xyz \geqslant \frac{{4\left( {xy + yz + xz} \right) - 1}}{9}$

Khi đó: $\frac{{9xyz}}{7} + \frac{2}{7} - \left( {xy + yz + xz} \right) \geqslant \frac{{4\left( {xy + yz + xz} \right) - 1}}{7} + \frac{2}{7} - \left( {xy + yz + xz} \right) \geqslant 0 \Rightarrow Q.E.D$

[linhk2]

Câu 1:

Ta xét riêng TH x>0, y$\geq$0

Ta có x $\geq$ xy+1 $\Leftrightarrow$ 1$\geq$ y+$\frac{1}{x}$

                                 $\Leftrightarrow$ 1$\geq$ 2$\sqrt{\frac{y}{x}}$ (BĐT Cauchy)

                                 $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{4}$ $\geq$ $\frac{y}{x}$

                                 $\Leftrightarrow$ x $\geq$ 4y

Ta có: M= $\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$

              = $\frac{xy}{x^{2}+16y^{2}-15y^{2}}$

              $\leq$ $\frac{xy}{8xy-15y^{2}}$ ( BĐT Cauchy)

              = $\frac{1}{8}$+$\frac{15y^{2}}{8(8xy-15y^{2})}$

              $\leq$$\frac{1}{8}$+$\frac{15y^{2}}{8(32y^{2}-15y^{2})}$ (Do x$\geq$4y)

              = $\frac{4}{17}$

Với các TH còn lại cm không thỏa mãn đk hoặc M$\leq$0

Vậy Max M= $\frac{4}{17}$ $\Leftrightarrow$ x=2 và y=$\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhk2: 03-06-2017 - 16:32

[FbPhuongHna]

Tìm Mmax thì nên tìm (x^2+y^2)/xy min

X^2+y^2 >= 2xy nên 1/M >=2 nên M max là 1/2n
À quên x,y (( sorry

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FbPhuongHna: 03-06-2017 - 21:50

[linhk2]

Tìm Mmax thì nên tìm (x^2+y^2)/xy min

X^2+y^2 >= 2xy nên 1/M >=2 nên M max là 1/2n
À quên x,y (( sorry

sao vậy đk bạn?