Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Max $A=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Hagoromo

Hagoromo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
Cho $a,b,c,d,e$ thuộc khoảng $\begin{bmatrix} -1; & 1 \end{bmatrix}$. Tìm Max $A=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$ với a+b+c+d+e=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hagoromo: 04-06-2017 - 22:00


#2
linhk2

linhk2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Vì a,b,c,d,e $\in \left [ -1;1 \right ]$

$\Rightarrow a^{2};b^{2};c^{2};d^{2};e^{2}\leq 1$

$\Rightarrow A\leq 5$



#3
Hagoromo

Hagoromo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
Nhưng ko chỉ ra được dấu "=" bạn ơi mình thử cách này rồi .

#4
Hagoromo

Hagoromo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Vì a,b,c,d,e $\in \left [ -1;1 \right ]$
$\Rightarrow a^{2};b^{2};c^{2};d^{2};e^{2}\leq 1$
$\Rightarrow A\leq 5$



#5
Hagoromo

Hagoromo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Vì a,b,c,d,e $\in \left [ -1;1 \right ]$
$\Rightarrow a^{2};b^{2};c^{2};d^{2};e^{2}\leq 1$
$\Rightarrow A\leq 5$

làm thế ko chỉ ra dấu đẳng thức được

#6
tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Vì a,b,c,d,e $\in \left [ -1;1 \right ]$

$\Rightarrow a^{2};b^{2};c^{2};d^{2};e^{2}\leq 1$

$\Rightarrow A\leq 5$

bạn để ý thêm đk $a+b+c+d+e=0$ nha! :icon6:  :D


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#7
linhk2

linhk2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

bạn để ý thêm đk $a+b+c+d+e=0$ nha! :icon6:  :D

xin lỗi mình quên mất cái điều kiện :D



#8
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

Mình làm thế này ko biết có đúng ko vì chỗ kia mình ép max

 

ko mất tính tổng quát ta giả sử 1$\geq$a$\geq b\geq c\geq d\geq e\geq -1$

Ta có a2$\leq 1$;e2$\leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi a=1;b=-1(vì a là số max.e là số min)

Khi đó b+c+d=0

ta có P=bc+cd+bd=bc+d(b+c)

mà(b-1)(c-1)$\geq 0$$\Leftrightarrow bc+1\geq b+c=-d$$\Leftrightarrow bc\geq -d-1$

 

Ta có P$\geq -d-1+d(b+c)=-d-d^{2}-1$

mà b+c+d=0;b$\geq c\geq d\Rightarrow -1\leq d\leq 0$$d(d+1)\leq 0$$\Rightarrow P=-d-d^{2}-1\geq -1$

Suy ra P$\leq -1$ mà b+c+d=0$\Rightarrow b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 2$

Suy ra$\sum$a2$\leq 4$

dấu bằng xảy ra khi a=1;b=1;c=0;d=-1;e=-1


Đặng Minh Đức CTBer


#9
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Dễ dàng nhận thấy $A\leq\sum{\left | a\right |}$

Theo nguyên lí Dirichle, tồn tai ít nhất3 số cùng dấu , giả sử đó là a,c,e cùng dấu 

Thế thì $\sum{\left | a\right |} =$ $\left |a+c+e \right | +\left |b \right |+\left |d \right |$

$= \left |b+d \right |+\left |b \right |+\left |d \right |$  $ \leq {2(\left |b \right |+\left |d \right |)}$ $\leq 2(1+1) =4 $

Vậy $ MaxA = 4 $  , chẳng hạn $a=0; c=e=-1; b=d=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 30-06-2017 - 21:42

        AQ02

                                 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh