Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số thực $x,y,z$ đôi một khác nhau thỏa $x^{3}=3x-1 ,y^{3}=3y-1,z^{3}=3z-1$. Chứng minh :$x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
anhtuan962002

anhtuan962002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Cho các số thực $x,y,z$ đôi một khác nhau thỏa

$x^{3}=3x-1 ,y^{3}=3y-1,z^{3}=3z-1$. Chứng minh :$x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$



#2
khgisongsong

khgisongsong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

$x^3=3x-1,y^3=3y-1=>(x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x-y)$ mà x khác y

$=>x^2+xy+y^2=3$

tương tự ta có $z^2+zy+y^2=3$ và $x^2+xz+z^2$=3

$=>2(x^2+y^2+z^2)=9-(xy+yz+zx)$

dễ thấy x,y,z là 3 nghiệm khác nhau của pt $k^3-3k+1=0$

vì x,y,z là nghiệm nên $k^3-3k+1=(k-x)(k-y)(k-z)=k^3-(x+y+z)k^2+(xy+zx+yz)k-xyz$

đồng nhất 2 vế ta có $xy+xz+yz=-3$ suy ra $=>x^2+y^2+z^2=\frac{9-(xy+yz+zx)}{2}=6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khgisongsong: 06-06-2017 - 22:56

$\frac{(x!)^2.(-1)^x+1}{2x+1}\in Z $ (với $x\in N)<=>2x+1$ là số nguyên tố





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh