cho a,b,c dương thay đổi thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}$
tìm Min của $P=a(a-2b+2)+b(b-2c+2)+c(c-2a+2)+\frac{1}{abc}$
cho a,b,c dương thay đổi thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}$
tìm Min của $P=a(a-2b+2)+b(b-2c+2)+c(c-2a+2)+\frac{1}{abc}$
cho a,b,c dương thay đổi thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}$
tìm Min của $P=a(a-2b+2)+b(b-2c+2)+c(c-2a+2)+\frac{1}{abc}$
Từ giả thiết ta có:
$a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}-(a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}+2(ab+bc+ca)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a+b+c+\sqrt{ab+bc+ca})(a+b+c-2\sqrt{ab+bc+ca})\geq 0$
$\Leftrightarrow a+b+c\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}$ $(1)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(ab+bc+ca)$
Do đó $P\geq 2(a+b+c)+\frac{1}{abc}$
Không mất tính tổng quát giả sử $a=max\left \{ a;b;c \right \}$.
Khi đó từ $(1)$ ta có:
$(a+b+c)^2\geq 4(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow (a+b)^2-2c(a+b)+c^2-4ab\geq 0$
$\Leftrightarrow (a+b-c-2\sqrt{ab})(a+b-c+2\sqrt{ab})\geq 0$
$\Leftrightarrow a+b\geq c+2\sqrt{ab}$ (vì hiển nhiên $a+b-c+2\sqrt{ab}\geq 0$)
Do đó:
$P\geq 4c+4\sqrt{ab}+\frac{1}{abc}=4c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}+\frac{1}{abc}\geq 8$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=2;b=c=\frac{1}{2}$ và các hoán vị
Success doesn't come to you. You come to it.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh