Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:
$(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m$
Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:
$(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Chiều 1:
$(2m+3)^{n}+1\vdots 3$
Dễ dàng => m chia 3 dư 1 và n phải lẻ
Đồng thời có $3^{n}+1\vdots 2m$
=> v2($3^{n}+1$)$\geq$ 1+v2(m)
=> đặt m=$2^{x}.\prod pi^{ni}$ (pi lẻ)
=> $(\frac{-3}{pi})=1$ vì n+1 chẵn nên dùng thặng dư bình phương
=> $\prod pi^{ni}\equiv 1(mod 6)$
mà m chia 3 dư 1 và x$\leq$1 => x=0 => v2(m)=0
Lại có $\frac{3^{n}+1}{2m}$ nguyên mà
v2($3^{n}+1$)-v2(m)=1
=> $\frac{3^{n}+1}{2m}$ chia hết cho 2 => đpcm;
Chiều 2: $3^{n}+1\vdots 4$ => n lẻ
Ta có: v2(3n+1)$\geq$ v2(4m) => v2(m)=0
Đặt m=$\prod pi^{ni}$ (pi nguyên tố lẻ) Tươgn tự trên => m=6k+1=3h+1
Ta cần c/m: $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$
Mà có: $(2m)^{n-1}\equiv 1 (mod3)$
Đặt $\frac{3^{n}+1}{2m}=k$
=>$3^{n}+1=2m.k=(6h+2).k$ Dễ thấy k$k\equiv 2(m0d3)$
Dễ dàng => $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$
Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:
$(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh