Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán: Khi đường thẳng $y=m-x$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ là $2.\sqrt{2}$ thì tích tất cả các giá trị của tham số $m$ là ?

[chanhquocnghiem]

Bài toán: Khi đường thẳng $y=m-x$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ là $2.\sqrt{2}$ thì tích tất cả các giá trị của tham số $m$ là ?

Phương trình hoành độ giao điểm : $\frac{x}{x-1}=m-x\Rightarrow x^2-mx+m=0$

Điều kiện để có các giao điểm $A$ và $B$ phân biệt là $m\in(-\infty;0)\cup (4;+\infty)$

Khi đó $|x_A-x_B|=\sqrt{\Delta }=\sqrt{m^2-4m}\Rightarrow AB=\sqrt{2}.|x_A-x_B|=\sqrt{2m^2-8m}$

Do tính đối xứng của hyperbol, $\Delta OAB$ cân tại $O$.Gọi $M$ là trung điểm $AB\Rightarrow AM=\sqrt{\frac{m^2-4m}{2}}$

Cũng do $M$ là trung điểm của $AB\Rightarrow M\left ( \frac{m}{2};\frac{m}{2} \right )\Rightarrow OM=\frac{m\sqrt{2}}{2}$

Đặt $\measuredangle AOM=\alpha \Rightarrow \tan^2\alpha =\frac{AM^2}{OM^2}=\frac{m-4}{m}\Rightarrow \cos^2\alpha =\frac{m}{2m-4}$

$\Rightarrow \cos2\alpha =\frac{2}{m-2}\Rightarrow \sin2\alpha =\frac{\sqrt{m^2-4m}}{|m-2|}$ (vì $0^o< 2\alpha =\measuredangle AOB< 180^o$)

Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta OAB$ là $R$, ta có :

$R=\frac{AB}{2\sin AOB}=\frac{AB}{2\sin2\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{2}.|m-2|$

$R=2\sqrt{2}\Leftrightarrow m=6$ hoặc $m=-2$

Tích cần tìm là $6.(-2)=-12$.