SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2017-2018
Ngày thi: 07/6/2017
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán (Hệ chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2 điểm)
1. Giải phương trình $(x-1)(x+2)+2\sqrt{x^2+x+1}=0$
2. Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left | \frac{x+y}{2}-\sqrt{xy} \right |+\left | \frac{x+y}{2}-\sqrt{xy} \right |=\left | x \right |+\left | y \right |$
Đẳng thức trên còn đúng hay không trong trường hợp x, y là các số thực âm? Tại sao?
Bài 2. (2 điểm)
1. Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $n^2+n+3$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và $7n^2+6n+2017$ không phải là số chính phương.
2. Tìm tất ca các số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện:
$2x^2+4y^2-4xy+2x+1=2017$
Bài 3. (2 điểm)
1. Cho đa thức $P(x)=x^3-6x^2+15x-11$ và các số thực a, b thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=5$. Tính giá trị của $a+b$.
2. Giả sử x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện $x(xy+1)=2y^2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $H=\frac{y^4}{1+y^2+y^4(x^4+x^2)}$
Bài 4. (3 điểm)
1. Cho hai điểm A,B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy sao cho $\widehat{xOA}=\widehat{yOB}$. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên các tia Ox, Oy. Giả sử M, N, P, Q đôi một phân biệt. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
2. Cho tam giác ABC không cân, có ba góc nhọn. Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, CE.
a. Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACE đồng dạng với nhau và $\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$.
b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB, K là hình chiếu vuông góc của N trên AC và I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng tam giác IHK cân.
Bài 5. (1 điểm)
Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2, 3, 5. Chứng minh rằng trong 9 số đã cho, tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kekkei: 14-06-2017 - 19:40
