Chủ đề này có 3 trả lời

[bigway1906]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c+2=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\sum \frac{1}{a}$

[duylax2412]

Đổi biến:$(a;b;c)=(\frac{x+y}{z};\frac{y+z}{x},\frac{z+x}{y})$.

Lúc đó ta có:

$S=\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ (Theo bất đẳng thức $Nesbit$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 15-06-2017 - 10:07

[bigway1906]

Đổi biến:$(a;b;c)=(\frac{x+y}{z};\frac{y+z}{x},\frac{z+x}{y})$.

Lúc đó ta có:

$S=\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ (Theo bất đẳng thức $Nesbit$).

Mình mới nghĩ ra cách này, bạn xem hộ mình được không?

Từ điều kiện ta có: $\sum \frac{1}{ab} + \frac{2}{abc}=1$, đặt $\frac{1}{a}= x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$

Khi đó bài toán trở thành: $xy+yz+zx+2xyz=1$, tìm Min $S=x+y+z$

Từ điều kiện có $xy+yz+zx+2xyz=1 \leq \frac{(x+y+z)^2}{3}+\frac{2}{27}(x+y+z)^3$

tương đương với $(2S-3)(S+3)^2\geq  0$

Vậy $S\geq 3/2$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c+2=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\sum \frac{1}{a}$

 

Ta có

\[S - \frac32= \sum \frac{(a+b+2)(c-2)^2}{4c(3abc+ab+bc+ca)} + \sum \frac{c(a-b)^2}{2ab(3abc+ab+bc+ca)} \geqslant 0.\]

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2.$