cho 4 số thực dương a, b, c, d thỏa mãn $abcd=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{(a+1)bc}\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 17-06-2017 - 10:25
cho 4 số thực dương a, b, c, d thỏa mãn $abcd=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{(a+1)bc}\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 17-06-2017 - 10:25
Trước hết là ta cần chứng minh $BĐT Nesbit$ $4$ số sau:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} \geq 2.$.
Thật vậy,theo $Cauchy-Shwarz$ dạng $Engel$ thì ta có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b} =\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+d)}+\frac{c^2}{c(d+a)}+\frac{d^2}{d(a+b)}$
$\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2bd+2ca+(a+c)(b+d)}$
Chỉ cần chứng minh thêm:$(a+b+c+d)^2 \geq 4bd+4ca+2(a+c)(b+d) \Leftrightarrow (a-c)^2+(b-d)^2 \geq 0$ (đúng)
Quay lại bài toán :
Đổi biến $(a,b,c,d) \rightarrow (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{t};\frac{t}{x})$.
Thì có được:
$\sum \frac{1}{(a+1)bc}=\frac{t}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+t}+\frac{z}{t+x} \geq 2$ (theo $BĐT$ trên).
$\rightarrow Q.E.D$
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh