Đến nội dung

Hình ảnh

$3\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}-3(a-1)(b-1)(c-1)\leq 9$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
uchiha hitachi

uchiha hitachi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

cho a,b,c thuộc [0;2] và a+b+c=3

C/M : $3\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}-3(a-1)(b-1)(c-1)\leq 9$



#2
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Bổ đề: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

Min:

Ta có: p=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3(a-1)(b-1)(c-1)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc+3ab+3bc+3ca-6=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$+(a+b+c)(ab+bc+ca)-6=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6 $\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{3}-6=\frac{3^{3}}{3}-6=3$

=> Min p=3.ĐTXR <=> a=b=c=1


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#3
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Max:

Ta có: p=3($a^{2}+b^{2}+c^{2}$)-6$\leq 9$$

<=> a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\leq 3$

<=> $(a+b+c)^{2}-2\sum ab-2\leq 3$

<=> $3^{2}-2-3\leq 2\sum ab$

<=>$2\sum ab \geq 4$

<=> $\sum ab\geq 2$

Ta sẽ chứng minh $\sum ab\geq 2$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Từ gt => $0 \leq c\leq 1$

Ta có:(a-2)(b-2) $\geq 0$

<=>$ab\geq 2(a+b)-4$

=>$\sum ab \geq 2(a+b)-4+bc+ca=(a+b)(c+2)-4=(3-c)(c+2)-4=-c^{2}+c+6-4=-c^{2}+c+2$

Ta cần cm $-c^{2}+c+2\geq2$

<=> $-c^{2}+c\geq 0$

<=> $0\leq c\leq 1 (luôn đúng trong khoảng c đang xét)

=> bđt được chứng minh. Dấu bằng xảy ra <=> a=2, b=1 ,c=0 và các hoán vị.(Q.E.D)   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 17-06-2017 - 13:12

Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#4
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Đặt $p=a+b+c=3,q=ab+bc+ca,r=abc$, $S=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)$

 

Ta có: $S=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc-3(abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1)$

           $=p(p^2-3q)+3r-3(r-q+p-1)=21-6q$

Khi đó thì: $3 \leq 21-6q  \leq 9\Leftrightarrow  2\leq q \leq 3$

 

$\bigstar$  Chứng minh: $2 \leq q$

Từ giả thiết ta có: $abc-(a-2)(b-2)(c-2) \geq 0\Leftrightarrow r-(r-2q+4p-8) \geq 0$

$\Leftrightarrow  2q-4p-8 \geq 0 \Leftrightarrow q \geq 2$ 

 

Đẳng thức xảy ra khi $p=3, q=2\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,2,3)$ và các hoán vị.

 

$\bigstar$ Chứng minh $q \leq 3$

$q \leq \frac{p^2}{3}=3$.

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,1)$

Hoàn tất chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 17-06-2017 - 16:47

$\mathbb{VTL}$


#5
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Đặt $p=a+b+c=3,q=ab+bc+ca,r=abc$, $S=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)$

 

Ta có: $S=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)-3(abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1)$

           $=p(p^2-3q)-3(r-q+p-1)=21-6q-3r$

Khi đó thì: $3 \leq 21-6q-3r  \leq 9\Leftrightarrow  4\leq 2q+r\leq 6$

 

$\bigstar$  Chứng minh: $4 \leq 2q+r$

Từ giả thiết ta có: $abc-(a-2)(b-2)(c-2) \geq 0\Leftrightarrow r-(r-2q+4p-8) \geq 0$

$\Leftrightarrow  2q-4p-8 \geq 0 \Leftrightarrow q \geq 2$ 

Khi đó: $2q+r \geq 2q \geq 4$

Đẳng thức xảy ra khi $p=3, q=2, r=0\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,2,3)$ và các hoán vị.

 

$\bigstar$ Chứng minh $2q+r \leq 6$

Hiện vẫn bí :D

Bài bạn sai ngay cái S.ta có (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

Đề hỏi: a^{3}+b^{3}+c^{3}.....Đâu mất 3abc rồi  :D

Sửa lại => 21-6q $\leq 9$

<=> $6q\geq 12$

<=> $q\geq 2$ .Bđt này mình đã chứng minh ở trên

=> 21-6q $\leq 9$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 17-06-2017 - 14:19

Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#6
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Bài bạn sai ngay cái S.ta có (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

Đề hỏi: a^{3}+b^{3}+c^{3}.....Đâu mất 3abc rồi  :D

Định lên sửa đây nè@@


$\mathbb{VTL}$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh