Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh N, G, P thẳng hàng

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại H. DE cắt (O) tại M, N. MH cắt (O) tại K khác M. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với NK cắt AK tại S. Gọi G là hình chiếu vuông góc với S trên MK, P là trung điểm của BC. CMR: N, G, P thẳng hàng.

 

image.png



#2
Nerus

Nerus

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Gọi $G'$ là trung điểm $HK$. $AH$ cắt $BC$ tại $F$. Gọi $I,J$ là trung điểm $AH,MH$

qua phép vị tự tâm $H$ tỉ số $\frac{1}{2}$ suy ra $G'$,$I$,$J$ thuộc $\left ( DEF \right )$. Ta có $HA.HF=2.HI.HF=2HJ.HG'=HM.HG$ nên $AMFG'$ nội tiếp 

Mặt khác có $\Delta AME\sim \Delta ABM$ nên $AM^{2}=AE.AB=AH.AF$ suy ra $\Delta AHM\sim \Delta AMF$ nên $\widehat{AMH}=\widehat{AFM}$ hay $A$ là điểm chính giữa cung $MG'$ suy ra $AG'=AM=AN$ và do $KA$ là phân giác $MKN$ nên $NG'$ là trung trực $AK$ nên $G'$ trùng $G$ hay $G$ là trung điểm $HK$

$HP$ cắt $O$ tại $Q$ thì $P$ là trung điểm $HQ$ suy ra $PG$ ll $KQ$ ll $NG$ nên có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nerus: 01-07-2017 - 13:52

                 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a^k\geq \left (\prod_{k=1}^{n}a^k \right )^{\frac{1}{n}}$


#3
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Lời giải của mình:

hih290.png  

 

Ta dễ chứng minh được: $OA\perp MN$ do đó $AM=AN$. Vậy $\angle NKS=\angle SKG$ do đó $AK\perp NG$. Ta quy bài toán về chứng minh $PN\perp AK$. Gọi $MN\cap AK=I, AH\cap BC=F$, ta : $\angle AIM=\dfrac{\widehat{AM}}{2}+\dfrac{\widehat{NK}}{2}=\dfrac{\widehat{AN}}{2}+\dfrac{\widehat{NK}}{2}=\angle ACK$, do đó $DIKC$ nội tiếp. Để ý rằng: $\angle AEM=180^\circ-\angle AED=180^\circ-\angle ACB=\angle AMB$. Do đó ta : $AM^2=AE.AB=AN^2=AD.AC=AI.AK=AH.AF$. Do đó $\angle AFI=\angle HKA=\angle AKN=\angle AMN$ suy ra $AMFI$ nội tiếp. Gọi $ED\cap BC=L, LA\cap (O)=J$. Ta dễ dàng chứng minh: $H,P,J$ thẳng hàng đồng thời: $H$ trực tâm tam giác $APL$. Vậy $LM.LN=LJ.LA=LF.LP$ do đó $MFPN$ nội tiếp suy ra $\angle NPC=\angle FMI=\angle FAK$. Gọi $NP\cap AK=R$. Ta : $\angle RPC=\angle RAF$ do đó $RAFP$ nội tiếp suy ra $AK\perp NP$. Do đó ta thu được điều phải chứng minh

 

P/s: Hoàn toàn THCS được(dù hơi dài như ở trên), một bài toán rất hay.


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#4
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Lời giải của mình:

attachicon.gifhih290.png 

 

Ta dễ chứng minh được: $OA\perp MN$ do đó $AM=AN$. Vậy $\angle NKS=\angle SKG$ do đó $AK\perp NG$. Ta quy bài toán về chứng minh $PN\perp AK$. Gọi $MN\cap AK=I, AH\cap BC=F$, ta : $\angle AIM=\dfrac{\widehat{AM}}{2}+\dfrac{\widehat{NK}}{2}=\dfrac{\widehat{AN}}{2}+\dfrac{\widehat{NK}}{2}=\angle ACK$, do đó $DIKC$ nội tiếp. Để ý rằng: $\angle AEM=180^\circ-\angle AED=180^\circ-\angle ACB=\angle AMB$. Do đó ta : $AM^2=AE.AB=AN^2=AD.AC=AI.AK=AH.AF$. Do đó $\angle AFI=\angle HKA=\angle AKN=\angle AMN$ suy ra $AMFI$ nội tiếp. Gọi $ED\cap BC=L, LA\cap (O)=J$. Ta dễ dàng chứng minh: $H,P,J$ thẳng hàng đồng thời: $H$ trực tâm tam giác $APL$. Vậy $LM.LN=LJ.LA=LF.LP$ do đó $MFPN$ nội tiếp suy ra $\angle NPC=\angle FMI=\angle FAK$. Gọi $NP\cap AK=R$. Ta : $\angle RPC=\angle RAF$ do đó $RAFP$ nội tiếp suy ra $AK\perp NP$. Do đó ta thu được điều phải chứng minh

 

P/s: Hoàn toàn THCS được(dù hơi dài như ở trên), một bài toán rất hay.

 

Chứng minh AK vuông góc với NP $\Leftrightarrow \angle ANP+ \angle NAK=180^0$

 

$\Leftrightarrow \angle ANM+\angle MNP+ \angle NAK=90^0$

 

$\Leftrightarrow \angle AMN+ \angle NAK+\angle MNP=90^0$ (do AM=AN)

 

$\Leftrightarrow \angle AMN+ \angle NMK+\angle MNP=90^0$

 

$\Leftrightarrow \angle AMK+\angle MFB=90^0$ (do MNPF là tứ giác nội tiếp)

 

$\Leftrightarrow \angle AFM+\angle MFB=90^0$ (do $AM^2=AH.AF$)



#5
harryhuyen

harryhuyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

bạn ơi cái chỗ vị tuự rồi suy ra I,J,G' thuộc (DEF) là sao vậy

 

 

Gọi $G'$ là trung điểm $HK$. $AH$ cắt $BC$ tại $F$. Gọi $I,J$ là trung điểm $AH,MH$

qua phép vị tự tâm $H$ tỉ số $\frac{1}{2}$ suy ra $G'$,$I$,$J$ thuộc $\left ( DEF \right )$. Ta có $HA.HF=2.HI.HF=2HJ.HG'=HM.HG$ nên $AMFG'$ nội tiếp 

Mặt khác có $\Delta AME\sim \Delta ABM$ nên $AM^{2}=AE.AB=AH.AF$ suy ra $\Delta AHM\sim \Delta AMF$ nên $\widehat{AMH}=\widehat{AFM}$ hay $A$ là điểm chính giữa cung $MG'$ suy ra $AG'=AM=AN$ và do $KA$ là phân giác $MKN$ nên $NG'$ là trung trực $AK$ nên $G'$ trùng $G$ hay $G$ là trung điểm $HK$

$HP$ cắt $O$ tại $Q$ thì $P$ là trung điểm $HQ$ suy ra $PG$ ll $KQ$ ll $NG$ nên có đpcmự 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh