Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh: $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$
cho a;b;c>0; a+b+c=1 Chứng minh $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$
#2
Đã gửi 29-06-2017 - 15:24
Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh: $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$
- KhanhTurbo12 và MoMo123 thích
''.''
#3
Đã gửi 29-06-2017 - 19:06
BĐT đã cho tương đương :
$ \sum({\frac{a^2}{b}+b-2a}})\geq { 3(a^2+b^2+c^2)- ( a+b+c)^2$
Hay $\sum{\frac{(a-b)^2}{b}} \geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$
Tương đương $ \sum\frac{(a-b)^2(1-b)}{b} \geq {0} $
$\Leftrightarrow \sum{\frac{(a-b)^(a+c)}{b}} \geq{0} $ . BĐT cuối hiển nhiên đúng>
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 02-07-2017 - 11:53
AQ02
#4
Đã gửi 29-06-2017 - 19:24
Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh: $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$
Nhân cả tử & mẫu của 3 p/số cho a^2; b^2; c^2 rồi dùng Cauchy-Schwarz thôi bạn
P/S : Ko gõ đc LATEX do đang on = đt
=> do what you love and love what you do <=
#5
Đã gửi 01-07-2017 - 19:37
cm đc$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$$\Leftrightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b}-2a+b)\geq \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}-2(a+b+c)\Leftrightarrow \frac{(a-b)^{2}}{b}+\frac{(b-c)^{2}}{c}+\frac{(c-a)^{2}}{a}\geq \frac{4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)}{a+b+c}$
Mà ta có$\sum \frac{(a-b)^{2}}{b}\geq \frac{(/a-b/+/b-c/+c-a/)^{2}}{a+b+c}$
ta cần cm$(/a-b/+/b-c/+/c-a/)^{2}\geq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
bạn khai triển ra ta đc $\sum$/ab-b2-ac+bc/$\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca$
có VP$\geq \left | b^{2}+ac-bc-ab-bc+c^{2}+ab-ac-ac+bc-ab+a^{2} \right |= \left | a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right |\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca$(dpcm)
cuối cùng ta cm$\frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}-(a+b+c))\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 6(a^{2}+b^{2}+c^{2})-1\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 1(a+b+c=1)$
phần trị tuyệt đôi hơi khó nhìn giống cách trên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 01-07-2017 - 19:39
Đặng Minh Đức CTBer
#6
Đã gửi 02-07-2017 - 11:30
Ta co : $\sum \frac{a^4}{a^2b} \geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2b}\geq \frac{3(\sum a^2)^2}{\sum a^2} = 3\sum a^2$( Vì $(\sum a^2)(\sum a )= ... \geq 3\sum a^2b$ )
minh ko hieu dong cuoi cung
Đặng Minh Đức CTBer
#7
Đã gửi 04-07-2017 - 18:47
Áp dụng BĐT sau:
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}(đpcm)$
quangtohe1234567890
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh