Đến nội dung

Hình ảnh

cho a;b;c>0; a+b+c=1 Chứng minh $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
KhanhTurbo12

KhanhTurbo12

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh: $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$



#2
didifulls

didifulls

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết

Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh: $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

Ta co : $\sum \frac{a^4}{a^2b} \geq  \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2b}\geq \frac{3(\sum a^2)^2}{\sum a^2} = 3\sum a^2$
( Vì $(\sum a^2)(\sum a )= ... \geq 3\sum a^2b$ ) 

''.''


#3
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

BĐT đã cho tương đương :

$ \sum({\frac{a^2}{b}+b-2a}})\geq { 3(a^2+b^2+c^2)- ( a+b+c)^2$

Hay $\sum{\frac{(a-b)^2}{b}} \geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

Tương đương $ \sum\frac{(a-b)^2(1-b)}{b} \geq {0} $ 

$\Leftrightarrow \sum{\frac{(a-b)^(a+c)}{b}} \geq{0} $ . BĐT cuối hiển nhiên đúng>

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 02-07-2017 - 11:53

        AQ02

                                 


#4
F IT Hacker

F IT Hacker

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh: $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

Nhân cả tử & mẫu của 3 p/số cho a^2; b^2; c^2 rồi dùng Cauchy-Schwarz thôi bạn

P/S : Ko gõ đc LATEX do đang on = đt


=> do what you love and love what you do <=


#5
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

cm đc$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$$\Leftrightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b}-2a+b)\geq \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}-2(a+b+c)\Leftrightarrow \frac{(a-b)^{2}}{b}+\frac{(b-c)^{2}}{c}+\frac{(c-a)^{2}}{a}\geq \frac{4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)}{a+b+c}$

Mà ta có$\sum \frac{(a-b)^{2}}{b}\geq \frac{(/a-b/+/b-c/+c-a/)^{2}}{a+b+c}$

ta cần cm$(/a-b/+/b-c/+/c-a/)^{2}\geq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

bạn khai triển ra ta đc $\sum$/ab-b2-ac+bc/$\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca$

có VP$\geq \left | b^{2}+ac-bc-ab-bc+c^{2}+ab-ac-ac+bc-ab+a^{2} \right |= \left | a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right |\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca$(dpcm)

 cuối cùng ta cm$\frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}-(a+b+c))\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 6(a^{2}+b^{2}+c^{2})-1\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 1(a+b+c=1)$

phần trị tuyệt đôi hơi khó nhìn :D giống cách trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 01-07-2017 - 19:39

Đặng Minh Đức CTBer


#6
minhducndc

minhducndc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

 

Ta co : $\sum \frac{a^4}{a^2b} \geq  \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2b}\geq \frac{3(\sum a^2)^2}{\sum a^2} = 3\sum a^2$
( Vì $(\sum a^2)(\sum a )= ... \geq 3\sum a^2b$ ) 

 

minh ko hieu dong cuoi cung


Đặng Minh Đức CTBer


#7
quangtohe

quangtohe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Áp dụng BĐT sau:

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\geq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}(đpcm)$


quangtohe1234567890





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh