Chủ đề này có 174 trả lời

[Duy Thai2002]

Vậy bạn có tài liệu về nó không

[MoMo123]

Cảm ơn các bạn đã ủng hộ TOPIC nhiệt tình , sau đây là các bài tiếp theo

22)

 Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau $\frac{x-y\sqrt{2017}}{y-z\sqrt{2017}}$ là số hữu tỉ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố

23) GPT  $x^{2}=\sqrt{x^{2}-x}+\sqrt{x^{3}-x^{2}}$

24) Tìm MAX của M = $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{4}+(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$

với a,b,c,d là các số dương và $a+b+c+d\leq 1$

Mình rất hoan nghênh khi các bạn ủng hộ TOPIC nhưng mong mọi người hãy dừng việc spam lại, tập trung làm đề, có ý kiến gì về đề thì có thể viết cuối bài viết , không làm loãng TOPIC, mình chữa nốt bài 24

 

Ta có :$\sum (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{4}<\sum (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{4}+\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4}=\sum 2(a^{2}+b^{2}+6ab)= 6(a+b+c+d)^{2}\leq 6$

Mọi người hãy giải lần lượt các bài toán thôi, không nên ra quá nhiều , các anh chị lớp trên nên để bọn em tự giải bài sau đó lại đưa ra đáp án ạ, các anh chị mạnh tay quá, bọn em theo không kịp

[1ChampRivenn]

Góp vui:

25. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\sum \frac{b^2c}{a^3(b+c)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$

26. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh: $\sum \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\leq \frac{3}{2}$

Bài 25.

$bdt\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c(a+b+c)}{a^3(b+c)}\geqslant\frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{b^2c}{a^3}\geqslant\frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{c^2a}{b^3}\geqslant\frac{9}{2}$

 

Áp dụng bđt $Cô-si$ : 

 

$VT=\sum \left [  \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\frac{c^2a}{2b^3}\right ]+\sum\frac{c^2a}{2b^3}\geqslant2\sum \frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2ab(b+c)}}+\frac{3}{2}$

 

$= \frac{3}{2}+2\sum \frac{c^2}{\sqrt{2abc(b+c)}}\geqslant^{CS}  \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})}= \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{A}$

 

với $A=\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})$

 

Ta có $A^2=2abc(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})^2\leqslant 2abc.6(a+b+c)$ ( áp dụng $(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)$ )

 

$=12(ab.bc+bc.ca+ca.ab)\leqslant 4(ab+bc+ca)^2$  ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )

 

$\leqslant \frac{4(a+b+c)^4}{9}$   ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )

 

$\Rightarrow A\leqslant \frac{2(a+b+c)^2}{3}$

 

$\Rightarrow VT\geqslant\frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\frac{2(a+b+c)^2}{3}}= \frac{9}{2}$

 

Vậy ta có $đpcm$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1ChampRivenn: 04-07-2017 - 07:56

[Hoang Dinh Nhat]

Bài 25: Một cách dùng $AM-GM$ khá đơn giản:

Theo $AM-GM$, ta có: $\frac{b^2c}{a^3(b+c)}+\frac{b+c}{4bc}+\frac{1}{2b}\geq \frac{3}{2a}$

$\Rightarrow \frac{b^2c}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2a}-\frac{3}{4b}-\frac{1}{4c}$

$\Rightarrow \sum \frac{b^2c}{a^3(b+c)}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$

[Duy Thai2002]

Bài 25.

$bdt\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c(a+b+c)}{a^3(b+c)}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{b^2c}{a^3}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{c^2a}{b^3}\geq \frac{9}{2}$

 

Áp dụng bđt $Cô-si$ : 

 

$VT=\sum \left [  \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\frac{c^2a}{2b^3}\right ]+\sum\frac{c^2a}{2b^3}\geq 2\sum \frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2ab(b+c)}}+\frac{3}{2}$

 

$= \frac{3}{2}+2\sum \frac{c^2}{\sqrt{2abc(b+c)}}\geq \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})}= \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{A}$

 

với $A=\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})$

 

Ta có $A^2=2abc(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})^2\leq 2abc.6(a+b+c)$ ( áp dụng $(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)$ )

 

$=12(ab.bc+bc.ca+ca.ab)\leq 4(ab+bc+ca)^2$  ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )

 

$\leq \frac{4(a+b+c)^4}{9}$   ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )

 

$\Rightarrow A\leq \frac{2(a+b+c)^2}{3}$

 

$\Rightarrow VT\geq \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\frac{2(a+b+c)^2}{3}}= \frac{9}{2}$

 

Vậy ta có $đpcm$.

Đâu cần dữ dội vậy bạn

Ta có: $\sum \frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}\geq 3\sqrt[3]{\prod \frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}}= \frac{3}{\sqrt[3]{ (b+c)(c+a)(a+b)}}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$

=> đpcm

[F IT Hacker]

Bài 25.

$bdt\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c(a+b+c)}{a^3(b+c)}\geqslant\frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{b^2c}{a^3}\geqslant\frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{c^2a}{b^3}\geqslant\frac{9}{2}$

 

Áp dụng bđt $Cô-si$ : 

 

$VT=\sum \left [  \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\frac{c^2a}{2b^3}\right ]+\sum\frac{c^2a}{2b^3}\geqslant2\sum \frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2ab(b+c)}}+\frac{3}{2}$

 

$= \frac{3}{2}+2\sum \frac{c^2}{\sqrt{2abc(b+c)}}\geqslant^{CS}  \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})}= \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{A}$

 

với $A=\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})$

 

Ta có $A^2=2abc(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})^2\leqslant 2abc.6(a+b+c)$ ( áp dụng $(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)$ )

 

$=12(ab.bc+bc.ca+ca.ab)\leqslant 4(ab+bc+ca)^2$  ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )

 

$\leqslant \frac{4(a+b+c)^4}{9}$   ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )

 

$\Rightarrow A\leqslant \frac{2(a+b+c)^2}{3}$

 

$\Rightarrow VT\geqslant\frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\frac{2(a+b+c)^2}{3}}= \frac{9}{2}$

 

Vậy ta có $đpcm$.

Hơi dài e ơi =)))

Dùng AM-GM cho 3 số là ok rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi F IT Hacker: 04-07-2017 - 16:19

[F IT Hacker]

Thậm chí em còn chưa đọc được đề thi AMS nữa.Chẳng qua là đưa về dạng bất đẳng thức tách các biến độc lập như sau:

$f(x) +f(y) +f(z) \geq c$ (hoặc $\leq$)Với $c$ là một hằng số.Việc còn lại là tìm  hệ số đánh giá $f(x) \geq mx^2 +n$ (hoặc

$f(x) \leq mx^2 +n$ rồi xây dựng các bất đẳng thức tương tự cộng lại.Nếu bạn nào thắc mắc về cách tìm các hệ số ấy thì  phải học đạo hàm trước đã sau đó nghiên cứu đến phương pháp "tiếp tuyến" sẽ thấy "ảo diệu"

Mình nói đùa tí thôi =)))

Cái phương pháp ấy mình đã học qua rồi (và có khi cũng có nhiều bạn khác đã học rồi) nên cũng ko cần nhắc lại nữa

 

Bài 35: Cho a,b,c Tìm Max x,y,z là sao?

Đã fix đề

[1ChampRivenn]

Hơi dài e ơi =)))

Dùng AM-GM cho 3 số là ok rồi

vâng dù hơi dài nhưng đó là cách của em ^^ anh thấy buồn cười à

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1ChampRivenn: 04-07-2017 - 17:29

[Tea Coffee]

Hoàn toàn ủng hộ ý kiến của a Hoàng vì cá nhân e vẫn mù BĐT:

Tiếp nhé:

1. Tìm số nguyên $n$ thỏa mãn:$n^{3}+2015n=2017^{2016}+1$

2. Cho $a,b,x,y$ là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn: $\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}$ và $x^{2}+y^{2}=1$.

Chứng minh  rằng: $\frac{x^{2016}}{a^{1003}}+\frac{y^{2016}}{b^{1003}}=\frac{2}{(a+b)^{1003}}$

[Duy Thai2002]

2.Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng engel, ta có:

$VT=\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}\geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{a+b}=\frac{1}{a+b}=VP$

=> $VT\geq VP \Rightarrow VT=VP\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a}=\frac{y^{2}}{b}$(1)

=> $\frac{x^{2006}}{a^{1003}}+\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=2\frac{y^{2006}}{b^{1003}}$(2)

Mặt khác,

Từ (1) 

=> $a=\frac{x^{2}b}{y^{2}}$

=> $\frac{2}{(a+b)^{1003}}=\frac{2}{(\frac{x^{2}b}{y^{2}}+b)^{1003}}=\frac{2}{b^{1003}(\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2006}})}=\frac{2y^{2006}}{b^{1003}}$(3) 

Từ (2) và (3)=> đpcm.

[F IT Hacker]

Hoàn toàn ủng hộ ý kiến của a Hoàng vì cá nhân e vẫn mù BĐT:

Tiếp nhé:

1. Tìm số nguyên $n$ thỏa mãn:$n^{3}+2015n=2017^{2016}+1$

2. Cho $a,b,x,y$ là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn: $\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}$ và $x^{2}+y^{2}=1$.

Chứng minh  rằng: $\frac{x^{2016}}{a^{1003}}+\frac{y^{2016}}{b^{1003}}=\frac{2}{(a+b)^{1003}}$

Chỗ đỏ có vẻ như sai đề (2006 mới đúng)

Bài 2 chính là câu 3 của LHP 2015

[F IT Hacker]

Cho các em ôn lại chỉnh hợp; tổ hợp & Newton nhé :

1) Cho đa giác đều 10 cạnh nội tiếp. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều ấy?

2) Tính $C_{2018}^{0}+C_{2018}^{2}+...+C_{2018}^{1008}$

[slenderman123]

Bài tổ hợp chỉ biết làm thế này 

Đa giác đều có 10 cạnh nên sẽ có 5 cặp cạnh ở vị trí kề nhau nên sẽ tạo thành 5 hình chữ nhật.

Đa giác  đều 10 cạnh có 5 cặp cạnh ở vị trí cách nhau 1 điểm nên sẽ tạo thành 5 hình chữ nhật khác

Đa giác đều 10 cạnh nên sẽ có 5 cặp cạnh ở vị trí cách nhau 2 điểm nên sẽ tạo thành 5 hình chữ nhật khác

....

Đa giác đều 10 nên sẽ có 5 cặp cách cách nhau ở vị trị 4 điểm nên sẽ có 5 hình chữ nhật..

Tóm lại có 20 hình chữ nhật được tạo ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 05-07-2017 - 18:35

[Duy Thai2002]

2) Ta có một số công thức như sau:

1.$_{b}^{a}\textrm{C}=_{b-1}^{a}\textrm{C}+_{b-1}^{a-1}\textrm{C}$

2.$_{n}^{0}\textrm{C}+_{n}^{1}\textrm{C}+...+_{n}^{n}\textrm{C}=2^{n}$

Công thức 2 dễ dàng cm bằng cách khai triển nhị thức Newton $(a+b)^{n}$ với a=b=1

Quay lại bài toán:

Ta có: $_{2018}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{2}\textrm{C}+...+_{2018}^{1008}\textrm{C}=(_{2017}^{0}\textrm{C}+_{2017}^{1}\textrm{C}+_{2017}^{2}\textrm{C}+...+_{2017}^{1007}\textrm{C}+_{2017}^{1008}\textrm{C})-_{2017}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{0}\textrm{C}=\frac{2^{2017}}{2}+1-1=2^{2016}$

=> $_{2018}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{2}\textrm{C}+...+_{2018}^{1008}\textrm{C}=2^{2016}$

P/s:Bài này mà để những bạn lớp 9 làm thì khó thật.

[Tea Coffee]

Chỗ đỏ có vẻ như sai đề (2006 mới đúng)

Bài 2 chính là câu 3 của LHP 2015

Đề có lẽ khong sai đâu

[F IT Hacker]

2) Ta có một số công thức như sau:

1.$_{b}^{a}\textrm{C}=_{b-1}^{a}\textrm{C}+_{b-1}^{a-1}\textrm{C}$

2.$_{n}^{0}\textrm{C}+_{n}^{1}\textrm{C}+...+_{n}^{n}\textrm{C}=2^{n}$

Công thức 2 dễ dàng cm bằng cách khai triển nhị thức Newton $(a+b)^{n}$ với a=b=1

Quay lại bài toán:

Ta có: $_{2018}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{2}\textrm{C}+...+_{2018}^{1008}\textrm{C}=(_{2017}^{0}\textrm{C}+_{2017}^{1}\textrm{C}+_{2017}^{2}\textrm{C}+...+_{2017}^{1007}\textrm{C}+_{2017}^{1008}\textrm{C})-_{2017}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{0}\textrm{C}=\frac{2^{2017}}{2}+1-1=2^{2016}$

=> $_{2018}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{2}\textrm{C}+...+_{2018}^{1008}\textrm{C}=2^{2016}$

P/s:Bài này mà để những bạn lớp 9 làm thì khó thật.

Kiến thức này lớp 9 cũng đã đc học rồi mà

[MoMo123]

Lâu lâu làm đại rồi , bây giờ chuyển sang hình chút nhé, trước tiên ôn lại hình lớp 8 đã

40.$\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, $HE$ vuông góc vs $AB, HF$ vuông góc vs $AC$

CMR

a)$(\frac{AB}{AC})^{3}=\frac{EB}{CF}$

b)$AH^{3}=BC.BE.CF$

c,Trên $BC$ lấy D .Vẽ $DM$ vuông góc vs AB, DN vuông góc vs AC

CMR $BD.DC=BM.MA+CN.NA$

41.Cho HCN ABCD,BH vuông góc vs AC ,trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho EB=AC

a)CM $\widehat{ADE}$ =$45^{\circ}$

b)M là trung điểm của AH, F là trung điểm của CD.Chứng minh BM vuông góc vs ME

c)I là trung điểm HC, N là trung điểm AC, chứng minh $\widehat{DNI}=\widehat{ABI}$

P/s: Mấy ngày nay off giờ mới on lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2017 - 21:35

[MoMo123]

Mấy ngày nay TOPIC trầm quá, mong mọi người tiếp tục ủng hộ TOPIC

42.)Cho $\Delta ABC$, I là tâm đường tròn nội tiếp, Từ I kẻ $MN$ vuông góc vs CI

CMR $\frac{AI^{2}}{BI^{2}}=\frac{AM}{BN}$

Từng đó cái đã

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2017 - 21:36

[MoMo123]

Lâu lâu làm đại rồi , bây giờ chuyển sang hình chút nhé, trước tiên ôn lại hình lớp 8 đã

40.$\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, $HE$ vuông góc vs $AB, HF$ vuông góc vs $AC$

CMR

a)$(\frac{AB}{AC})^{3}=\frac{EB}{CF}$

b)$AH^{3}=BC.BE.CF$

c,Trên $BC$ lấy D .Vẽ $DM$ vuông góc vs AB, DN vuông góc vs AC

CMR $BD.DC=BM.MA+CN.NA$

41.Cho HCN ABCD,BH vuông góc vs AC ,trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho EB=AC

a)CM $\widehat{ADE}$ =$45^{\circ}$

b)M là trung điểm của AH, F là trung điểm của CD.Chứng minh BM vuông góc vs ME

c)I là trung điểm HC, N là trung điểm AC, chứng minh $\widehat{DNI}=\widehat{ABI}$

P/s: Mấy ngày nay off giờ mới on lại

 

 

Mấy ngày nay TOPIC trầm quá, mong mọi người tiếp tục ủng hộ TOPIC

42.)Cho $\Delta ABC$, I là tâm đường tròn nội tiếp, Từ I kẻ $MN$ vuông góc vs CI

CMR $\frac{AI^{2}}{BI^{2}}=\frac{AM}{BN}$

Từng đó cái đã

Câu 1 

$\Delta BEH\sim \Delta HEA\rightarrow \frac{EB}{EH}= \frac{HE}{AE}=\frac{HE}{FH}$

$\rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{HF}{FC}=\frac{EB}{EH}= \frac{EH}{FH}\rightarrow (\frac{AB}{AC})^{3}= \frac{EB}{CF}$

b)$\Delta BEH\sim \Delta BAC\rightarrow BC.BE= BH.BA$

$\Delta BAH\sim \Delta HCF\rightarrow BA.CF=HC.AH\rightarrow ...$

Câu 2)

a) Chắc mọi người đều làm được nhỉ 

Câu b)

Trên BH lấy P là trung điểm , $\rightarrow MPCF$ là hình bình hành 

MP là đường trung bình của $\Delta HAB$ -> $MP$ vuông góc vs BC, mà BH vuông góc vs MC -> P là trực tâm $\Delta MBC$

$\rightarrow$ CP vuông góc vs MB-> FM vuông góc vs MB

Câu c làm tương tự câu b

Câu 3

$\widehat{IMC}= \widehat{IAM}+\widehat{AIM}$

Mặt khác , ta có $\widehat{IMC}= 90^{\circ}-\widehat{ICA}= \frac{180^{\circ}-\widehat{ACB}}{2}= \widehat{CAI}+\widehat{ABI}$

$\rightarrow \Delta ABI\sim \Delta AIM$

$\rightarrow AI^{2}=AB.AM$

 

Công nhận làm hình mệt kinh

Hình gửi kèm

• 

[MoMo123]

Tiếp tục nhé 

1)GPT 

$\frac{6}{x+3}=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{-2+3\sqrt{1+x}}}$

2)Cho a,b,c TM $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ 

CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq 3$

3) Cho a,b,c là số dương thỏa mãn $2a+4b+3c^{2}=68$

Tìm MIn của $A=a^{2}+b^{2}+c^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 18-07-2017 - 13:27