Chứng minh rằng $Z$ không đẳng cấu với nhóm cộng không gian vecto trên bất kì trường nào .
Ý tưởng em thì như này gọi $V$ là không gian vecto trên trường $K$ nào đó . Gọi đẳng cấu là :
$$\phi : (V , +) \to (Z , +)$$
Xét ánh xạ sau với $w \in K , w \neq 0$
$$f : K \to V$$
$$a \to aw$$
Khi đó đây là đơn cấu vì nếu $aw=bw => (a-b)w=0$ nếu $a-b \neq 0$ thì nó khả nghịch và do đó $w = 0$ nên trái giả sử . Nên nhóm cộng của $K$ đẳng cấu với nhóm con của $Z$ , thương hóa nó được trường hữu tỷ ( trong TH đặc số bằng $0$ còn khác $0$ thì hiển nhiên ) , nên ta có một đẳng cấu từ $Q$ vào nhóm con của $Z$ gọi là $h : Q \to S \subset Z$
Ta dễ thấy công thức $h(1)=2h(\frac{1}{2})$ nên $\frac{1}{2}h(1)=h(\frac{1}{2})$ nhưng khi đó $h^{-1}(\frac{1}{2}h(1))$ không tồn tại vì $\frac{1}{2}$ không nguyên
Không biết các cao nhân có cao kiến gì không
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-07-2017 - 21:57