Chủ đề này có 6 trả lời

[nguyenthaison]

Cho phương trình: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (*)

ĐK: a;b là hằng số và không là số chính phương.

Liệu có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 02-07-2017 - 15:40

[didifulls]

Cho phương trình: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (*)

ĐK: a;b là hằng số và không là số chính phương.

Liệu có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)

 

$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\sqrt{a}+\sqrt{b} (*)$

$<=> \sqrt{x}- \sqrt{b}=\sqrt{a}-\sqrt{y}$

$=> x+b-2\sqrt{xb}=y+a-2\sqrt{ay}$

$<=> x-y+b-a=2(\sqrt{xb}-\sqrt{ay})$

$VT \epsilon  \mathbb{N} => VP \epsilon  \mathbb{N}$

Ma a,b khong phai là SCP $=> y=ay_1^2 =>x=bx_1^2$ 

$(*)<=> \sqrt{b}x_{1} +\sqrt{a}y_{1} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$
$<=>\sqrt{b}(x_{1} -1) = \sqrt{a}(1- y_{1})$

$y_1 \geq 1 . Ma y_1 =1 => y=a => x_1=1 => x=b$
$y_1 > 1$ => Vo li
Ngược lai.

Vay KHÔNG  có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)

p/s: Lần sau gõ thì thêm '' $ '' vào trước sau nhé 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi didifulls: 03-07-2017 - 16:05

[nguyenthaison]

 

$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\sqrt{a}+\sqrt{b} (*)$

$<=> \sqrt{x}- \sqrt{b}=\sqrt{a}-\sqrt{y}$

$=> x+b-2\sqrt{xb}=y+a-2\sqrt{ay}$

$<=> x-y+b-a=2(\sqrt{xb}-\sqrt{ay})$

$VT \epsilon  \mathbb{N} => VP \epsilon  \mathbb{N}$

Ma x,y khong phai là SCP $=> y=ay_1^2 =>x=bx_1^2$ 

$(*)<=> \sqrt{b}x_{1} +\sqrt{a}y_{1} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$
$<=>\sqrt{b}(x_{1}-1) = \sqrt{a}(1-y_{1})$

$y_1 \geq 1 . Ma y_1 =1 => y=a => x_1=1 => x=b$
$y_1 > 1$ => Vo li
Ngược lai.

Vay KHÔNG  có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)

p/s: Lần sau gõ thì thêm '' $ '' vào trước sau nhé 

 

e cảm ơn anh nhìu lắm   

[1ChampRivenn]

 

$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\sqrt{a}+\sqrt{b} (*)$

$<=> \sqrt{x}- \sqrt{b}=\sqrt{a}-\sqrt{y}$

$=> x+b-2\sqrt{xb}=y+a-2\sqrt{ay}$

$<=> x-y+b-a=2(\sqrt{xb}-\sqrt{ay})$

$VT \epsilon  \mathbb{N} => VP \epsilon  \mathbb{N}$

Ma x,y khong phai là SCP $=> y=ay_1^2 =>x=bx_1^2$ 

$(*)<=> \sqrt{b}x_{1} +\sqrt{a}y_{1} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$
$<=>\sqrt{b}(x_{1}-1) = \sqrt{a}(1-y_{1})$

$y_1 \geq 1 . Ma y_1 =1 => y=a => x_1=1 => x=b$
$y_1 > 1$ => Vo li
Ngược lai.

Vay KHÔNG  có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)

p/s: Lần sau gõ thì thêm '' $ '' vào trước sau nhé 

 

Đoạn này sai r. Ko có cơ sở nào để suy ra như vậy cả.

[didifulls]

Đoạn này sai r. Ko có cơ sở nào để suy ra như vậy cả.

À chết chắc mình viết nhầm @@ Mà a,b không phải là SCP chứ nhỉ ? :v 

[1ChampRivenn]

Cho phương trình: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (*)

ĐK: a;b là hằng số và không là số chính phương.

Liệu có tồn tại x;y là số tự nhiên mà x và y khác a;b thỏa mãn pt (*)

$gt\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{y}$

$\Leftrightarrow x= a+b+y+2\sqrt{ab}-2\sqrt{ay}-2\sqrt{by}$

Do $x,a,b,y$ là số tự nhiên nên $2\sqrt{ab}-2\sqrt{ay}-2\sqrt{by}$ sẽ phải là số nguyên.

Đặt $t=2\sqrt{ab}-2\sqrt{ay}-2\sqrt{by}$

$\Rightarrow \sqrt{ab}-\frac{t}{2}=\sqrt{ay}+\sqrt{by}\Leftrightarrow ab+\frac{t^2}{4}-t\sqrt{ab}= ay+by+2y\sqrt{ab}$

$\Leftrightarrow ab+\frac{t^2}{4}-y(a+b)=(t+2y)\sqrt{ab}$ $(*)$

+ Nếu $ab$ ko là số chính phương thì $\sqrt{ab}$ là vô tỷ suy ra $VP$ vô tỷ $VT$ hữu tỉ vô lí. Vậy ko tồn tại.

+ Nếu $ab$ là số chính phương

$gt\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}= a+b+2\sqrt{ab}= t\Leftrightarrow 2\sqrt{xy}=t-x-y$

Suy ra $t>x+y$ và $4xy=x^2+y^2+t^2+2xy-2xt-2yt\Leftrightarrow x^2-2x(y+t)+(y-t)^2=0$

để pt có nghiệm tự nhiên thì $delta'$ phải là số chính phương.

Ta có $delta'=4yt$. Chọn $y$ sao cho $yt$ là scp.

$\Rightarrow x=y+t-2\sqrt{yt}=(\sqrt{y}-\sqrt{t})^2$.

Do $t>x+y$ suy ra $t>2y+t-2\sqrt{yt}\Leftrightarrow \sqrt{yt}> y\Leftrightarrow t> y$.

Vậy khi $ab$ là số chính phương thì pt có nghiệm $x=(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{y})^2$

trong đó $y$ là số tự nhiên thỏa mãn $y<a+b+2\sqrt{ab}$ và $y(a+b+2\sqrt{ab})$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1ChampRivenn: 03-07-2017 - 17:36

[1ChampRivenn]

À chết chắc mình viết nhầm @@ Mà a,b không phải là SCP chứ nhỉ ? :v 

là a,b thì vẫn sai :vv ví dụ với $a=2.3^3$ thì $y$ chỉ cần $y=2.3=6$ là $ay$ đã là scp r.

Mà kể cả khi $\sqrt{ay},\sqrt{bx}$ ko nguyên thì hiệu $\sqrt{ay}-\sqrt{bx}$ vẫn có thể là số nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1ChampRivenn: 03-07-2017 - 17:02