Đến nội dung

Hình ảnh

Bulgaria MO 2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

$$ \huge \text{BULGARIA MO 2016 }$$

 

Ngày thứ nhất

 

Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m$ và $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle (2^{2^{n}}+1)(2^{2^{m}}+1)$ chia hết cho $\displaystyle m\cdot n$ .

 

Bài 2. Trong một cuộc thi toán có $\displaystyle n$ học sinh tham gia, mỗi học sinh phải giải $\displaystyle 6$ bài toán, mỗi bài toán có $\displaystyle 3$ câu trả lời. Sau khi chấm bài, ban tổ chức thấy rằng với mỗi hai học sinh, số bài toán mà họ có cùng câu trả lời là $\displaystyle 0$ hoặc $\displaystyle 2$. Tìm giá trị lớn nhất của $\displaystyle n$.

 

Bài 3. Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng

$$\displaystyle \frac {a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4} \leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}$$.

 

Ngày thứ hai

 

Bài 4. Tồn tại hay không số nguyên dương $\displaystyle n<10^9$ thỏa mãn: $\displaystyle n$ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên dương theo nhiều hơn $\displaystyle 1000$ cách?

 

Bài 5. Cho tam giác $\displaystyle {ABC}$ cân tại $\displaystyle C. \displaystyle D$ nằm trên phần kéo dài của $\displaystyle AC$ về phía $\displaystyle C$ sao cho $\displaystyle AC>CD$. Phân giác của $\displaystyle \angle BCD$ cắt $\displaystyle BD$ tại $\displaystyle N$ và $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle BD$. Tiếp tuyến tại $\displaystyle M$ của $\displaystyle (AMD)$ cắt cạnh $\displaystyle BC$ tại $\displaystyle P$. Chứng minh rằng $\displaystyle A,P,M$ và $\displaystyle N$ cùng nằm trên một đường tròn.

 

Bài 6. Cho số nguyên dương $\displaystyle n$. Một hình vuông $\displaystyle A$ có cạnh $\displaystyle n$ được chia thành $\displaystyle n^2$ ô vuông đơn vị theo cách thông thường. Tất cả các ô đơn vị được tô bởi một trong $\displaystyle n$ màu sao cho mỗi màu dùng đúng $\displaystyle n$ lần. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $\displaystyle N$ sao cho với mỗi $\displaystyle n>N$, tồn tại hình vuông $\displaystyle B$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

(a) Cạnh của $\displaystyle B$ có độ dài $\displaystyle \sqrt{n}$;

(b) Các cạnh của $\displaystyle B$ cùng phương với các cạnh của $\displaystyle A$;

(c) $\displaystyle B$ chứa $\displaystyle 4$ hình vuông đơn vị có màu khác nhau.



#2
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Câu Bất Max dễ. Xơi trước:

Theo BĐT AM-GM suy ra $\sqrt[3]{abc}\leq{\sqrt[4]{\frac{abc(a+b+c)}{3}}}$

Bây giờ ta sẽ CM BĐT mạnh hơn:

$\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[4]{a^2b^2}+\sqrt[4]{\frac{abc(a+b+c)}{3}}+\sqrt[4]{abcd}$ $\leq$ 4.$\sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}$

Theo AM-GM cho 4 số dương:

$\sqrt[4]{\frac{4a}{a+b+c+d}.\frac{3a}{a+b+c+d}.\frac{2a}{a+b}.1}\leq{\frac{\frac{4a}{a+b+c+d}+\frac{3a}{a+b+c}+\frac{2a}{a+b}+1}{4}}$ $(1)$

$\sqrt[4]{\frac{4b}{a+b+c+d}.\frac{3b}{a+b+c}.\frac{2a}{a+b}.1}\leq{\frac{\frac{4b}{a+b+c+d}+\frac{3b}{a+b+c}+\frac{2a}{a+b}+1}{4}}$        $(2)$

$\sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{4c}{a+b+c+d}.1.1}\leq{\frac{\frac{2b}{a+b}+\frac{4c}{a+b+c+d}+1+1}{4}}$                                $(3)$

$\sqrt[4]{\frac{4d}{a+b+c+d}.\frac{3c}{a+b+c}.\frac{2b}{a+b}.1}\leq{\frac{\frac{4d}{a+b+c+d}+\frac{3c}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b}+1}{4}}$        $(4)$

Cộng vế theo vế của $(1)(2)(3)(4)$ ta có được BĐT cần Chứng Minh.

Hoàn tất .

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 02-07-2017 - 20:04

        AQ02

                                 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh