$$ \huge \text{BULGARIA MO 2016 }$$
Ngày thứ nhất
Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle m$ và $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle (2^{2^{n}}+1)(2^{2^{m}}+1)$ chia hết cho $\displaystyle m\cdot n$ .
Bài 2. Trong một cuộc thi toán có $\displaystyle n$ học sinh tham gia, mỗi học sinh phải giải $\displaystyle 6$ bài toán, mỗi bài toán có $\displaystyle 3$ câu trả lời. Sau khi chấm bài, ban tổ chức thấy rằng với mỗi hai học sinh, số bài toán mà họ có cùng câu trả lời là $\displaystyle 0$ hoặc $\displaystyle 2$. Tìm giá trị lớn nhất của $\displaystyle n$.
Bài 3. Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng
$$\displaystyle \frac {a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4} \leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}$$.
Ngày thứ hai
Bài 4. Tồn tại hay không số nguyên dương $\displaystyle n<10^9$ thỏa mãn: $\displaystyle n$ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên dương theo nhiều hơn $\displaystyle 1000$ cách?
Bài 5. Cho tam giác $\displaystyle {ABC}$ cân tại $\displaystyle C. \displaystyle D$ nằm trên phần kéo dài của $\displaystyle AC$ về phía $\displaystyle C$ sao cho $\displaystyle AC>CD$. Phân giác của $\displaystyle \angle BCD$ cắt $\displaystyle BD$ tại $\displaystyle N$ và $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle BD$. Tiếp tuyến tại $\displaystyle M$ của $\displaystyle (AMD)$ cắt cạnh $\displaystyle BC$ tại $\displaystyle P$. Chứng minh rằng $\displaystyle A,P,M$ và $\displaystyle N$ cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 6. Cho số nguyên dương $\displaystyle n$. Một hình vuông $\displaystyle A$ có cạnh $\displaystyle n$ được chia thành $\displaystyle n^2$ ô vuông đơn vị theo cách thông thường. Tất cả các ô đơn vị được tô bởi một trong $\displaystyle n$ màu sao cho mỗi màu dùng đúng $\displaystyle n$ lần. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $\displaystyle N$ sao cho với mỗi $\displaystyle n>N$, tồn tại hình vuông $\displaystyle B$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(a) Cạnh của $\displaystyle B$ có độ dài $\displaystyle \sqrt{n}$;
(b) Các cạnh của $\displaystyle B$ cùng phương với các cạnh của $\displaystyle A$;
(c) $\displaystyle B$ chứa $\displaystyle 4$ hình vuông đơn vị có màu khác nhau.