Đến nội dung

Hình ảnh

CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

giải tích 11 giới hạn của hàm số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nguyenthanhhung1985

nguyenthanhhung1985

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
 

A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT:

I. Giới hạn hữu hạn

1.Giới hạn đặc biệt:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$;   
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$    ($c$: hằng số)

2.Định lí:
a) Nếu$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$  và  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M$ thì:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) + g(x)} \right] = L + M$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) - g(x)} \right] = L - M$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{L}{M}$ (nếu $M\ne 0$)
b) Nếu $f(x) \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì  $L \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)}  = \sqrt L $
c) Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f(x)} \right| = \left| L \right|$

II. Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực

1.Giới hạn đặc biệt:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} = \left\{ \begin{array}{l}
+ \infty \,\,\,\text{nếu}\,\,k\,\,\text{chẵn}\\
- \infty \,\,\,\text{nếu}\,\,k\,\,\text{lẻ}
\end{array} \right.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c$;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} =  - \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} =  + \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\left| x \right|}} =  + \infty $

2.Định lí:
Nếu$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) =  \pm \infty $ thì: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)g(x) =  \pm \infty$.

Bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} f(x) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} g(x) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} f(x).g(x) \\
\hline
+ & +\infty & +\infty \\
\hline
+ & -\infty & -\infty\\
\hline
- & +\infty& -\infty\\
\hline
- & -\infty & +\infty\\
\hline
\end{array}$

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = 0$ thì: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} =  \pm \infty $.
Bảng sau:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} f(x) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} g(x) & Dấu\,\, của\,\,g(x)\,(Trong\,\, lân\,\, cận \,\,x_0) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} \\
\hline
+ & 0 &+& +\infty \\
\hline
+ & 0 &-& -\infty \\
\hline
- & 0 &+& -\infty\\
\hline
- & 0 &-& +\infty\\
\hline
\end{array}$

III.Giới hạn một bên:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \iff \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty-\infty$, $0.\infty$  thì phải tìm cách khử dạng vô định.

B.MỘT SỐ VẤN ĐỀ - DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:(sơ đồ tư duy)

 

Chú ý: Đối với hàm số lượng giác thì cũng có các dạng tương tự và vận dụng công thức: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x} = 1$
C.VÍ DỤ VẬN DỤNG:
Vấn đề 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$
Dạng 1: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{L}{M}$, $M \ne 0,\,\,L \ne 0$
Phương pháp:
Thế ${x_0}$vào $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \frac{L}{M}$
Ví dụ 1:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{{1^3} - 8}}{{{1^2} - 4}} = \frac{{ - 7}}{{ - 3}} = \frac{7}{3}$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 3} }}{3} = \frac{1}{3}$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x} = \frac{{\sqrt[3]{{ - 3 + 1}} - \sqrt {1 + 3} }}{{ - 3}} = \frac{{2 + \sqrt[3]{2}}}{3}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin x}}{x} = \frac{{\sin \frac{\pi }{4}}}{{\frac{\pi }{4}}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{\pi }$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = \frac{{\left| {2 - 3} \right|}}{{{{2.3}^2} - 5.3 + 2}} = \frac{1}{5}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1:
Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  - x}}{{x - 1}}$   
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{x - 1}}$  
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 3}}{{x - 2}}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{1}{2}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{1 + x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  - x}}{{x - 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{x - 1}}$  
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 3}}{{x - 2}}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$ 
i)$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2}\sin \frac{1}{2}$
Dạng 2: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{0}{M},\,\,M \ne 0$
Phương pháp:
Thế ${x_0}$ vào $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \frac{0}{M} = 0$
Ví dụ 2:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} + 4}} = \frac{{{2^3} - 8}}{{{2^2} + 4}} = \frac{0}{8} = 0$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{x + 1}} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 0} }}{{0 + 1}} = \frac{0}{1} = 0$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{{x + 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{0 + 1}} - \sqrt {1 + 0} }}{{0 + 1}} = \frac{0}{1} = 0$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{x + 1}} = \frac{{\sin 0}}{{0 + 1}} = \frac{0}{1} = 0$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 1}} = \frac{{\left| {2 - 2} \right|}}{{{{2.2}^2} - 5.2 + 1}} = \frac{0}{{ - 1}} = 0$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1:
Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  + 2x}}{{x - 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{{2x}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 1}  - 1}}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  - 1}}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 2}}{{x - 2}}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{c{\rm{osx}}}}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  + 2x}}{{x - 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \frac{{\sin x}}{{2x}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 1}  - 1}}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  - 1}}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 2}}{{x - 2}}$
h $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{c{\rm{osx}}}}$
Dạng 3: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{L}{0},\,\,\,L \ne 0$
Phương pháp:
Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực:
- Quy tắc 1.
- Quy tắc 2.
Ví dụ 3:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 8}}{{x - 2}} =  - \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 8) =  - 6\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2) = 0\\
x - 2 > 0,\,\,\forall x > 2
\end{array} \right.$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} =  - \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 8) =  - 6\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {(x - 2)^2} = 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} > 0,\,\,\forall x\ne 2
\end{array} \right.$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1:
Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x + {x^2} + {x^3}}}{{{x^2}}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$   
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{c{\rm{os}}x}}{{2{x^2} + 1}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{{{\left( {{x^4} + x - 2} \right)}^2}}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2}  + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}$
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} + \sqrt {3x - 2} }}{{{{\left( {x - 2} \right)}^6}}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{c{\rm{os}}x}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}}}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \frac{{x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  + 2x}}{{x - 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x}}{{\sin x}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{{x^4} + 2x - 3}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} + x - 1}  + 1}}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1}}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {x + 6}  + 2}}{{x - 2}}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} + \sqrt {3x - 2} }}{{2 - x}}$
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{c{\rm{osx}}}}{{\rm{x}}}$
Dạng 4: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{0}{0}$
Phương pháp:

- Nhóm nhân tử chung: $x - {x_0}$.
- Nhân thêm lượng liên hiệp.
- Thêm, bớt số hạng vắng.
a) $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với $P(x),\,\, Q(x)$ là các đa thức và $P(x_0) = Q(x_0) = 0$.
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Ví dụ 4: 

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{12}}{4} = 3$
b) $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với $P(x_0) = Q(x_0) = 0$ và $P(x),\,\, Q(x)$ là các biểu thức chứa căn cùng bậc.
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Ví dụ 5:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \frac{1}{4}$
b) $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với $P(x_0) = Q(x_0) = 0$ và $P(x)$ là biểu thức chứa căn không đồng bậc.
Giả sử: $P(x) = \sqrt[m]{{u(x)}} - \sqrt[n]{{v(x)}}\,\,\text{với}\,\,\sqrt[m]{{u({x_0})}} = \sqrt[n]{{v({x_0})}} = a$.
Ta phân tích $P(x) = \left( {\sqrt[m]{{u(x)}} - a} \right) + \left( {a - \sqrt[n]{{v(x)}}} \right)$.
Ví dụ 6:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - 1}}{x} + \frac{{1 - \sqrt {1 - x} }}{x}} \right)$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(x + 1)}^2} + \sqrt[3]{{x + 1}} + 1}}}} + \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - x} }}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,\,\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 3x + 9}}{{{x^4} - 8{x^2} - 9}}$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{x - 5{x^5} + 4{x^6}}}{{{{(1 - x)}^2}}}\,\,\,$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^m} - 1}}{{{x^n} - 1}}\,\,\,$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}}{x}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \,\,\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 3x + 9}}{{{x^4} - 8{x^2} - 9}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{x - 5{x^5} + 4{x^6}}}{{{{(1 - x)}^2}}}\,\,\,$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{{x^m} - 1}}{{{x^n} - 1}}\,\,\,$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}}{x}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}$
Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1}  - 3}}{{{x^2} - 4}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}}  - 1}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2}  - 2}}{{\sqrt {x + 7}  - 3}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x + 2}  - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 16}  - 4}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{x + \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 3x}}$  
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 9}  + \sqrt {x + 16}  - 7}}{x}$
Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1}  - 3}}{{{x^2} - 4}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}}  - 1}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x + 2}  - 2}}{{\sqrt {x + 7}  - 3}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {2x + 2}  - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 16}  - 4}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 3)}^ - }} \frac{{x + \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 3x}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9}  + \sqrt {x + 16}  - 7}}{x}$
Bài tập 5: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4x}  - \sqrt[3]{{1 + 6x}}}}{{{x^2}}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{2{x^2} - 5x + 2}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {5 - {x^3}}  - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x}  - 1}}{x}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x}$
Bài tập 6: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 4x}  - \sqrt[3]{{1 + 6x}}}}{{{x^2}}}$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{2{x^2} - 5x + 2}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {5 - {x^3}}  - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x}  - 1}}{x}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x}$
Dạng 5: $P({x_0}).Q({x_0}) = 0.\infty $ ($\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P(x).Q(x)$)
Phương pháp:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Ví dụ 5:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{0.\sqrt 2 }}{2} = 0$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{0.\sqrt 2 }}{2} = 0$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1:
Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x - 3)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 9}}} $  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (x - 4)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 16}}} $ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x - 1)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} $
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } (x - \sqrt 2 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 2}}} $ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } (x - \sqrt 3 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 3}}} $ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} (x - 5)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 25}}} $
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} (x - 3)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 9}}} $ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (x - 4)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 16}}} $ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x - 1)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} $
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ - }} (x - \sqrt 2 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 2}}} $ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^ + }} (x - \sqrt 3 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 3}}} $ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} (x - 5)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 25}}} $
Dạng 6: $P({x_0}) - Q({x_0}) = \infty  - \infty $ ($\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {P(x) - Q(x)} \right)$)
Phương pháp:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Ví dụ 6:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{2}{{1 - {x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{x - 1}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{1}{{ - 1 - x}} =  - \frac{1}{2}$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{2}{{1 - {x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{x - 1}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{1}{{ - 1 - x}} =  - \frac{1}{2}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1:
Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\,\left( {\frac{1}{{2 - x}} - \frac{4}{{4 - {x^2}}}} \right)$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,\,\,\left( {\frac{1}{{3 - x}} - \frac{6}{{9 - {x^2}}}} \right)$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \,\,\,\left( {\frac{1}{{4 - x}} - \frac{8}{{16 - {x^2}}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \,\,\,\left( {\frac{1}{{5 - x}} - \frac{{10}}{{25 - {x^2}}}} \right)$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\left( {\frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}} + \frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}}} \right)$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{2 - x}} - \frac{4}{{4 - {x^2}}}} \right)$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{3 - x}} - \frac{6}{{9 - {x^2}}}} \right)$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{4 - x}} - \frac{8}{{16 - {x^2}}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{5 - x}} - \frac{{10}}{{25 - {x^2}}}} \right)$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\left( {\frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}} + \frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}}} \right)$
Vấn đề 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$.
Dạng 1: $\frac{\infty }{\infty }$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } p(x) =  \pm \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } Q(x) =  \pm \infty $.
Phương pháp:

- Nếu $P(x)$, $Q(x)$ là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$.
- Nếu $P(x)$, $Q(x)$ có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$ hoặc nhân lượng liên hợp.
Chú ý:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \left\{ \begin{array}{l}
k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,\text{bậc của} (P(x))\, = \,\text{bậc của} (Q(x))\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\text{bậc của} (P(x))\, < \,\text{bậc của} (Q(x))\,\\
\pm \infty \,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\text{bậc của} (P(x))\, > \,\text{bậc của} (Q(x))
\end{array} \right.$
Ví dụ 1:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{x^2} + 6x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 2$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{x^2} + 6x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 2$
c)$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}}  - 1}} =  - \frac{2}{3}$
d)$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}}  - 1}} = 2$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1:
Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} - x + 1}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 2}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + 4x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  + 2 - x}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1}  + 2 - x}}{{\sqrt {9{x^2} - 3x}  + 2x}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\frac{{x\sqrt x  + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{(2x - 1)\sqrt {{x^2} - 3} }}{{x - 5{x^2}}}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x + 2}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{2\left| x \right| + 1}}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} - x + 1}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 2}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + 4x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  + 2 - x}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1}  + 2 - x}}{{\sqrt {9{x^2} - 3x}  + 2x}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\frac{{x\sqrt x  + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{(2x - 1)\sqrt {{x^2} - 3} }}{{x - 5{x^2}}}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x + 2}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{2\left| x \right| + 1}}$
Dạng 2: $\infty  - \infty $ ( $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {P(x) - Q(x)} \right)$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } P(x) =  \pm \infty, \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } Q(x) =  \pm \infty$ và giới hạn này thường có chứa căn)
Phương pháp:
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
Ví dụ 2:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {1 + x}  - \sqrt x } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {1 + x}  - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt {1 + x}  + \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + x}  + \sqrt x }} = 0$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt[3]{{1 + {x^2} - {x^3}}} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 + {x^2}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + {x^2} - {x^3}}}} \right)}^2} - x\sqrt[3]{{1 + {x^2} - {x^3}}} + {x^2}}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^2}}} + 1}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} - 1}} + 1}} = \frac{1}{3}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1:
Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - x} \right)$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\left( {2x - 1 - \sqrt {4{x^2} - 4x - 3} } \right)$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - \sqrt[3]{{{x^3} - 1}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\left( {\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } }  - \sqrt x } \right)$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} - \sqrt[3]{{2x + 1}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + {x^2} - 1}} - \sqrt {{x^2} + x + 2} } \right)$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 5}  + x} \right)$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\left( {2x - 1 - \sqrt {4{x^2} - 4x + 2} } \right)$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt[3]{{{x^3} - 2{x^2} - 1}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\left( {\sqrt {{x^4} + {x^2} + 10}  + {x^2}} \right)$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} - \sqrt[3]{{2x + 1}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + {x^2} - 1}} + \sqrt {{x^2} - x + 2} } \right)$
Dạng 3: $0.\infty$. ($\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {P(x).Q(x)} \right)$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } P(x) = 0, \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } Q(x) =  \pm \infty$ và giới hạn này thường có chứa căn)
Phương pháp:  Tổng hợp các phương pháp trên.
Ví dụ 3:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x - 2}}{{{x^2} + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = 1$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 2}  + 1}}{{{x^2} + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2}  + {x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$
   $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}}  + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}}}{{\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} =  + \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  - \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}}  + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^3}}} =  - 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = 0\\
\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}} < 0,\,\forall x < 0
\end{array} \right.$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} - 2}}{{{x^4} + 1}}} \right)$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 2}  + 1}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^4} + 2}  + {x^2}}}{{{x^3} + 1}}} \right)$

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} - 2}}{{{x^4} + 1}}} \right)$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 2}  + 1}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {4{x^4} + 2}  + {x^2}}}{{{x^3} + 1}}} \right)$

Vấn đề 3: Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm.

Phương pháp:
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \iff \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$.
- Sử dụng các cách tính giới hạn của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
$f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x}\,\, & khi\,\,x > 0\\
\frac{1}{2}\,\,\, & khi\,\,x \le \,\,0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
Hướng dẫn giải:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 1}} = \frac{1}{2}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \frac{1}{2}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
$f(x)\,\,=\,\,\left\{\begin{array}{l}
\frac{3x+3}{x+2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,x<1\\
mx+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\text{tại}\,\,x=1$

Hướng dẫn giải:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{3x + 3}}{{x + 2}}} \right) = 2$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 2} \right) = m + 2$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ nên $m + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}\,\, & \text{nếu}\,\,x > 0\\
\frac{3}{2}\,\,\, & \text{nếu}\,\,x \le \,\,0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}}\,\, & \text{nếu}\,\,x < 3\\
1 - x\,\,\,\,\,\, & \text{nếu}\,\,x \ge 3
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 3$
c) $f(x)\,\,\, = \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 2x}}{{8 - {x^3}}}\,\, & \text{nếu}\,\,x > 2\\
\frac{{{x^4} - 16}}{{x - 2}}\,\,\, & \text{nếu}\,\,x < 2
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} & \text{nếu}\,\,x > 1\\
- \frac{x}{2} & \text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$

Bài tập 2:  Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}\,\,\, & \text{nếu}\,\,x < 1\\
mx + 2\,\, & \text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
b) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x > 1\\
{m^2}{x^2} - 3mx + 3\,\,\,\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x + m &  & khi\,\,x < 0\\
\frac{{{x^2} + 100x + 3}}{{x + 3}} & khi\,\,x \ge 0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
d) $\left\{ \begin{array}{l}
x + 3m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x <  - 1\\
{x^2} + x + m + 3\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x \ge  - 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\text{tại}\,\,\,x =  - 1$

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 04-07-2017 - 19:30

Nguyễn Thành Hưng


#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Cảm ơn anh nhiều







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giải tích 11, giới hạn của hàm số

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh