Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Min $P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+ \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Olympusreacher

Olympusreacher

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Với x;y là những số thực dương, tìm min

$P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+ \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Đại học quốc gia Hà Nội năm 2011


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 06-07-2017 - 07:02

Weak people revenge, strong people forgive, intelligent people ignore.

                                                                                                                                                                   Albert Einstein


#2
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Với x;y là những số thực dương, tìm min

P=$\sqrt{frac{x^3}{x^3+8y^3}}$+$sqrt{frac{4*y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Đại học quốc gia Hà Nội.

Fix lại đề cho dễ nhìn : P = $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(y+x)^3}}$ ^_^

Bài này không khó, bạn chứng minh bất đẳng thức phụ $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geq \frac{x^2}{x^2+2y^2}$  là OK . ( Cái còn lại cũng tương tự nhé )

Min =1 khi x=y .


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#3
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

$1$ cách tự nhiên ta có (theo bạn @viet9a14124869) 

$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}=\sqrt{\frac{x^{4}}{(x^{2}+2xy)(x^{2}-2xy+4y^{2})}} \geq \sqrt{\frac{4x^{4}}{(2x^{2}+4y^{2})^{2}}}=\frac{x^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$

$\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}=\sqrt{\frac{4y^{4}}{(2y^{2}+xy)(x^{2}+xy+y^{2})}} \geq \frac{2y^{2}}{\frac{3y^{2}+x^{2}+2xy}{2}}\geq \frac{4y^{2}}{4y^{2}+2x^{2}}=\frac{2y^{2}}{2y^{2}+x^{2}}$

Cộng vế theo vế ta có $P \geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 05-07-2017 - 21:49

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#4
Olympusreacher

Olympusreacher

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Fix lại đề cho dễ nhìn : P = $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(y+x)^3}}$ ^_^

Bài này không khó, bạn chứng minh bất đẳng thức phụ $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geq \frac{x^2}{x^2+2y^2}$  là OK . ( Cái còn lại cũng tương tự nhé )

Min =1 khi x=y .

Nhưng mà bạn ơi, cái mình thắc mắc là làm thế nào để xác định điểm rơi mà tìm được bất đẳng thức phụ để chứng minh á, tại vì mình thấy biểu thức này đâu có đối xứng đâu? :( Bạn chỉ mình cách để xác định được bất đẳng thức phụ được không? :mellow:


Weak people revenge, strong people forgive, intelligent people ignore.

                                                                                                                                                                   Albert Einstein


#5
slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

$1$ cách tự nhiên ta có (theo bạn @viet9a14124869) 

$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}=\sqrt{\frac{x^{4}}{(x^{2}+2xy)(x^{2}-2xy+4y^{2})}} \geq \sqrt{\frac{4x^{4}}{(2x^{2}+4y^{2})^{2}}}=\frac{x^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$

$\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}=\sqrt{\frac{4y^{4}}{(2y^{2}+xy)(x^{2}+xy+y^{2})}} \geq \frac{2y^{2}}{\frac{3y^{2}+x^{2}+2xy}{2}}\geq \frac{4y^{2}}{4y^{2}+2x^{2}}=\frac{2y^{2}}{2y^{2}+x^{2}}$

Cộng vế theo vế ta có $P \geq 1$

cái này đề hà nội nhỉ, quen quen


Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#6
Olympusreacher

Olympusreacher

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

cái này đề hà nội nhỉ, quen quen

Đúng rồi đó bạn :luoi:


Weak people revenge, strong people forgive, intelligent people ignore.

                                                                                                                                                                   Albert Einstein


#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Với x;y là những số thực dương, tìm min

$P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+ \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Đại học quốc gia Hà Nội năm 2011

Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)

           $\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh